Дана правильная четырехугольная пирамида, диагональ ее основания равна 2√6 см, диагональное сечение прямоугольный треугольник. Чему равен объём пирамиды?

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, воспользуемся формулой: \[ V = \frac{1}{3} S_b h \] где \( V \) – это объем пирамиды, \( S_b \) – площадь основания, а \( h \) – высота пирамиды. 1. **Определим сторону основания**. Поскольку основание пирамиды является квадратом, а диаметр его диагонали равен \( 2\sqrt{6} \) см, можем использовать соотношение между диагональю квадрата \( d \) и его стороной \( a \): \[ d = a\sqrt{2} \] Подставим известное значение: \[ 2\sqrt{6} = a\sqrt{2} \] Разделим обе стороны на \( \sqrt{2} \): \[ a = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} \, см \] 2. **Рассчитаем площадь основания**. Площадь квадрата можно найти по формуле: \[ S_b = a^2 \] Подставим значение стороны: \[ S_b = (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12 \, см^2 \] 3. **Найдем высоту пирамиды**. В условии говорится, что диагональное сечение является прямоугольным треугольником. В этом треугольнике одна из сторон (высота) будет равна высоте пирамиды, а другая сторона — половина диагонали основания. Половина диагонали: \[ \frac{d}{2} = \sqrt{6} \, см \] Так как треугольник прямоугольный, используем теорему Пифагора: \[ h^2 + \left(\sqrt{6}\right)^2 = \left( \text{гипотенуза} \right)^2 \] Гипотенуза в данном случае равна стороне основания, то есть: \[ h^2 + 6 = (2\sqrt{3})^2 \] \[ h^2 + 6 = 12 \] \[ h^2 = 12 - 6 = 6 \] \[ h = \sqrt{6} \, см \] 4. **Подставим всё в формулу для объема**: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{6} \] \[ V = 4\sqrt{6} \, см^3 \] Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен \( 4\sqrt{6} \, см^3 \).