Дана правильная четырехугольная пирамида, диагональ ее основания равна 2√6 см, диагональное сечение прямоугольный треугольник. Чему равен объём пирамиды?
Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, воспользуемся формулой:
\[ V = \frac{1}{3} S_b h \]
где \( V \) – это объем пирамиды, \( S_b \) – площадь основания, а \( h \) – высота пирамиды.
Определим сторону основания. Поскольку основание пирамиды является квадратом, а диаметр его диагонали равен \( 2\sqrt{6} \) см, можем использовать соотношение между диагональю квадрата \( d \) и его стороной \( a \):
\[ d = a\sqrt{2} \] Подставим известное значение:
\[ 2\sqrt{6} = a\sqrt{2} \] Разделим обе стороны на \( \sqrt{2} \):
\[ a = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} \, см \]
Рассчитаем площадь основания. Площадь квадрата можно найти по формуле:
\[ S_b = a^2 \]
Подставим значение стороны:
\[ S_b = (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12 \, см^2 \]
Найдем высоту пирамиды. В условии говорится, что диагональное сечение является прямоугольным треугольником. В этом треугольнике одна из сторон (высота) будет равна высоте пирамиды, а другая сторона — половина диагонали основания.
Половина диагонали:
\[ \frac{d}{2} = \sqrt{6} \, см \]
Так как треугольник прямоугольный, используем теорему Пифагора:
\[ h^2 + \left(\sqrt{6}\right)^2 = \left( \text{гипотенуза} \right)^2 \]
Гипотенуза в данном случае равна стороне основания, то есть:
\[ h^2 + 6 = (2\sqrt{3})^2 \] \[ h^2 + 6 = 12 \] \[ h^2 = 12 - 6 = 6 \] \[ h = \sqrt{6} \, см \]
Подставим всё в формулу для объема:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{6} \] \[ V = 4\sqrt{6} \, см^3 \]
Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен \( 4\sqrt{6} \, см^3 \).
