Используя аксиоматику Гильберта, докажите, что: для любых двух разных точех А и В найдется такая точка С, что точка В лежит между точками А и С;
Для доказательства того, что для любых двух разных точек \(A\) и \(B\) найдется такая точка \(C\), что точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(C\), воспользуемся аксиомами, заложенными в аксиоматике Гильберта.
Напоминаем аксиомы:
- Аксиома 1: Через любые две точки проходит прямая.
- Аксиома 2: Каждые две разные точки определяют одну и ту же прямую.
- Аксиома 3: Если точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими.
Доказательство:
Пусть \(A\) и \(B\) — две разные точки. По аксиоме 1, существует прямая, которую мы можем обозначить как \(l\), такая что \(A\) и \(B\) лежат на этой прямой.
По аксиоме 2, поскольку точки \(A\) и \(B\) различны, прямую \(l\) можно продолжать в обе стороны. Мы можем выбрать любую точку \(C\) на прямой \(l\) такую, что \(C\) не совпадает с \(A\) и \(C\) не совпадает с \(B\). Например, можно выбрать точку \(C\) так, чтобы она находилась на том же расстоянии от \(A\), что и \(B\), но лежала по другую сторону от \(A\).
Теперь, имея три точки \(A\), \(B\) и \(C\) на прямой \(l\), по аксиоме 3, так как все эти точки лежат на одной прямой, по крайней мере одна из точек \(A\) или \(C\) будет лежать между \(A\) и \(B\) или между \(B\) и \(C\).
Для конкретного выбора точки \(C\) можно выбрать так, чтобы точка \(B\) лежала между точками \(A\) и \(C\), если, например, \(C\) находится на одной стране прямой от \(A\) и \(B\).
Следовательно, для любых двух разных точек \(A\) и \(B\) можно найти такую точку \(C\), что точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(C\).
Заключение: Доказано, что для любых двух разных точек \(A\) и \(B\) существует такая точка \(C\), что \(B\) лежит между \(A\) и \(C\), используя аксиоматику Гильберта.
