Выбрали 57 натуральных чисел из первой сотни (от 1 до 99). докажите, что среди них можно выбрать два числа, сумма которых 88
Для решения этой задачи воспользуемся методом, основанным на парах чисел и их свойствах.
Рассмотрим натуральные числа от 1 до 99. Мы можем разбить их на пары, сумма которых равна 88. Эти пары будут следующими:
- (1, 87)
- (2, 86)
- (3, 85)
- (4, 84)
- (5, 83)
- (6, 82)
- (7, 81)
- (8, 80)
- (9, 79)
- (10, 78)
- (11, 77)
- (12, 76)
- (13, 75)
- (14, 74)
- (15, 73)
- (16, 72)
- (17, 71)
- (18, 70)
- (19, 69)
- (20, 68)
- (21, 67)
- (22, 66)
- (23, 65)
- (24, 64)
- (25, 63)
- (26, 62)
- (27, 61)
- (28, 60)
- (29, 59)
- (30, 58)
- (31, 57)
- (32, 56)
- (33, 55)
- (34, 54)
- (35, 53)
- (36, 52)
- (37, 51)
- (38, 50)
- (39, 49)
- (40, 48)
- (41, 47)
- (42, 46)
- (43, 45)
- (44, 44)
Как видно, существует 44 пары чисел, сумма которых равна 88. Теперь, если мы выбрали 57 чисел из первой сотни, то по принципу рукостискания (или принципу Дирихле) мы можем заключить, что как минимум одно число из каждой пары должно быть выбрано.
Так как у нас 44 пары, а выбрано 57 чисел, теорема о свертывании утверждает, что будет не менее 13 чисел, выбрано более одного раза из каждой пары. Поэтому среди этих 57 чисел можно выбрать два числа, сумма которых равна 88.
Таким образом, мы доказали, что среди 57 выбранных чисел можно найти такие, которые в сумме дадут 88.
