4. Определить максимальное окружное напряжение, возникающее при посадке стальной втулки на стальной вал, если внутренний диаметр втулки меньше наружного диаметра вала на 8=0,05 мм (8 натяг). Модуль упругости Е-200 ГПа. Размеры втулки и вала: диаметр вала 100мм, внешний диаметр втулки 150мм, ширина втулки 140мм.

Для нахождения максимального окружного напряжения в стальной втулке, когда она садится на стальной вал, можно использовать формулу для окружного напряжения в втулке, подверженной нагреву и механическим нагрузкам:

\[ \sigma = \frac{M}{W} \]

где:

• \(M\) — момент, создаваемый натягом,
• \(W\) — момент инерции.

Однако в данном случае, учитывая, что втулка имеет малую ширину и что у нас есть натяжение, мы можем воспользоваться формулой для нахождения окружного напряжения в условиях предварительного натяга.

Дана следующая информация:

• Внутренний диаметр втулки \(d_1\) на \(0.05 \, \text{мм}\) меньше наружного диаметра вала \(D_2\), где \(D_2 = 100 \, \text{мм}\):

\[ d_1 = D_2 - 0.05\, \text{мм} = 100\, \text{мм} - 0.05\, \text{мм} = 99.95\, \text{мм} \]

• Внешний диаметр втулки \(D_1 = 150 \, \text{мм}\).
• Модуль упругости \(E = 200 \, \text{ГПа} = 200 \times 10^3 \, \text{МПа}\).

Для определения максимального окружного напряжения при натяжении втулки, нам понадобится вычислить деформацию, возникающую из-за посадки:

1. Найдем коэффициент натяга (различие по диаметрам): \[ \Delta d = D_2 - d_1 = 0.05 \, \text{мм} \]

2. Определяем радиальный натяг \( \Delta d / D_2 \): \[ \text{Радиальный натяг} = \frac{\Delta d}{D_2} = \frac{0.05 \, \text{мм}}{100 \, \text{мм}} = 0.0005 \]

3. Теперь вычислим окружное напряжение в наименьшем диаметре втулки (внутренняя окружная координата): \[ \sigma = \frac{(D_2/2) \cdot E \cdot \Delta d}{D_1} \] Где используем радиус вала и модуль упругости.

Подсчет происходит следующим образом:

• \(R = \frac{D_2}{2} = 50 \, \text{мм} = 0.050\, \text{м}\)
• \(D_1 = 150\, \text{мм} = 0.150\, \text{м}\)

Организуем окончательное вычисление напряжения:

\[ \sigma = \frac{(0.050) \cdot (200 \times 10^3) \cdot (0.00005)}{0.150} \] \[ = \frac{(0.050) \cdot (200) \cdot (0.00005)}{0.150} \] \[ = \frac{0.0005 \, \text{МПа}}{0.150} \approx 6.67 \, \text{МПа} \]

Итак, максимальное окружное напряжение, возникающее при посадке стальной втулки на стальной вал, составляет примерно \(6.67 \, \text{МПа}\).