4. Определить максимальное окружное напряжение, возникающее при посадке стальной втулки на стальной вал, если внутренний диаметр втулки меньше наружного диаметра вала на 8=0,05 мм…

Для решения задачи необходимо рассчитать максимальное окружное напряжение, возникающее в стальной втулке при посадке на стальной вал. Используем следующие обозначения:

• \( D_1 = 100 \, \text{мм} \) — наружный диаметр вала,
• \( D_2 = 150 \, \text{мм} \) — внешний диаметр втулки,
• \( D_{1, \text{min}} = D_1 - 0,05 \, \text{мм} = 99,95 \, \text{мм} \) — минимальный наружный диаметр вала,
• \( D_2 = 150 \, \text{мм} \) — внешний диаметр втулки,
• \( E = 200 \, \text{ГПа} = 200 \times 10^3 \, \text{МПа} \) — модуль упругости.

1. Определим радиусы

• Радиус вала:
  \[ r_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{100 \, \text{мм}}{2} = 50 \, \text{мм} = 0,05 \, \text{м} \]

• Радиус втулки:
  \[ r_2 = \frac{D_2}{2} = \frac{150 \, \text{мм}}{2} = 75 \, \text{мм} = 0,075 \, \text{м} \]

2. Используем формулу для окружного напряжения

Начнем с формулы, по которой можно найти окружное (или кольцевое) напряжение для цилиндрического нагруженного элемента. Мы используем формулу для окружного напряжения в условиях осевого натяжения:

\[ \sigma = \frac{P}{A} \]

где \( P \) — сила, приложенная к втулке, а \( A \) — площадь сечения.

3. Приходим к расчету

Однако, чтобы получить максимальное окружное напряжение, мы воспользуемся формулой:

\[ \sigma_\theta = \frac{(1 - \nu^2) \Delta D}{D} \cdot E \]

где:

• \( \nu \) — коэффициент Пуассона (для стали обычно принимается \( \nu \approx 0,3 \)),
• \( \Delta D \) — разница между диаметрами (в данном случае \( 0,05 \, \text{мм} = 0,00005 \, \text{м} \)),
• \( D \) — наружный диаметр, в отношении которого производится расчет (берем наружный диаметр втулки \( D_2 = 150 \, \text{мм} = 0,15 \, \text{м} \)).

Подставив значения, получим:

\[ \sigma_\theta = \frac{(1 - 0,3^2) \cdot 0,00005}{0,15} \cdot (200 \times 10^3) \]

Происходит следующее вычисление:

\[ \sigma_\theta = \frac{(1 - 0,09) \cdot 0,00005}{0,15} \cdot (200 \times 10^3) \]

\[ \sigma_\theta = \frac{0,91 \cdot 0,00005}{0,15} \cdot 200 \times 10^3 \]

\[ \sigma_\theta = \frac{0,0000455}{0,15} \cdot 200000 \]

\[ \sigma_\theta = 0,0003033 \cdot 200000 \approx 60,66 \, \text{МПа} \]

Таким образом, максимальное окружное напряжение, возникающее при посадке стальной втулки на стальной вал, составляет примерно \( \sigma_\theta \approx 60,66 \, \text{МПа} \).