Найдите длину бокового ребра правильной треугольной пирамиды со стороной основания 3√3 см и объемом 20,25 см³.

Для нахождения длины бокового ребра правильной треугольной пирамиды с основанием в виде правильного треугольника и заданными параметрами, используем несколько шагов.

1. Найдем площадь основания: Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \( a = 3\sqrt{3} \) см. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим значение стороны: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (3\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 27 = \frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2. \]

2. Используем формулу объема пирамиды: Объем правильной треугольной пирамиды можно вычислить по формуле: \[ V = \frac{1}{3} S h, \] где \( V \) — объем, \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. Подставляем известные значения: \[ 20,25 = \frac{1}{3} \cdot \frac{27\sqrt{3}}{4} \cdot h. \]

3. Решим это уравнение для нахождения высоты \( h \): Умножим обе стороны уравнения на 3: \[ 60,75 = \frac{27\sqrt{3}}{4} \cdot h. \] Произведем дальнейшие преобразования: \[ h = \frac{60,75 \cdot 4}{27\sqrt{3}}. \] Упростим: \[ h = \frac{243}{27\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ см}. \]

4. Найдем длину бокового ребра: Боковое ребро \( l \) правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле: \[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2}, \] где \( \frac{a \sqrt{3}}{3} \) — это расстояние от центра основания до середины стороны. Подставляем значения: \[ l = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + \left(\frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}. \]

Таким образом, длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды равна \( 6 \) см.