С какой скоростью начало тело двигаться вверх по наклонной плоскости, если на расстоянии 0,5 м от её основания тело было через 0,5 с и через 2,5 с от начала движения?

Для решения данной задачи мы можем использовать уравнение движения с постоянным ускорением. Так как у нас есть данные о расстоянии (0,5 м) и времени (0,5 с и 2,5 с), можно использовать формулу движения.

Пусть \( s_1 = 0.5 \) м — расстояние, пройденное телом за время \( t_1 = 0.5 \) с, а \( s_2 = 0.5 \) м — расстояние, пройденное телом за время \( t_2 = 2.5 \) с.

Используем уравнение движения для двух случаев:

1. При \( t = 0.5 \) с: \[ s_1 = v_0 t_1 + \frac{a t_1^2}{2}, \] где \( v_0 \) — начальная скорость, \( a \) — ускорение.

2. При \( t = 2.5 \) с: \[ s_2 = v_0 t_2 + \frac{a t_2^2}{2}. \]

Теперь подставим известные значения. Для первого уравнения мы имеем: \[ 0.5 = v_0 \cdot 0.5 + \frac{a \cdot (0.5)^2}{2}. \]

Для второго уравнения: \[ 0.5 = v_0 \cdot 2.5 + \frac{a \cdot (2.5)^2}{2}. \]

Теперь у нас есть система уравнений. Решим первое уравнение относительно \( v_0 \): \[ 0.5 = 0.5v_0 + \frac{a \cdot 0.25}{2}, \] или \[ 0.5 = 0.5v_0 + 0.125a. \]

Перепишем его: \[ 0.5v_0 + 0.125a = 0.5. \tag{1} \]

Теперь преобразуем второе уравнение: \[ 0.5 = 2.5v_0 + \frac{a \cdot 6.25}{2}, \] или \[ 0.5 = 2.5v_0 + 3.125a. \]

Перепишем его: \[ 2.5v_0 + 3.125a = 0.5. \tag{2} \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Мы можем выразить \( a \) из первого уравнения и подставить во второе уравнение.

Из уравнения (1): \[ 0.125a = 0.5 - 0.5v_0, \] отсюда \[ a = \frac{4 - 4v_0}{1}. \tag{3} \]

Теперь подставим (3) во второе уравнение: \[ 2.5v_0 + 3.125 \left(\frac{4 - 4v_0}{1}\right) = 0.5. \]

Упрощаем: \[ 2.5v_0 + 12.5 - 12.5v_0 = 0.5, \] \[ -10v_0 + 12.5 = 0.5, \] \[ -10v_0 = 0.5 - 12.5, \] \[ -10v_0 = -12, \] отсюда \[ v_0 = \frac{12}{10} = 1.2 \text{ м/с}. \]

Таким образом, начальная скорость тела, двигающегося вверх по наклонной плоскости, составляет \( 1.2 \) м/с.