Реши

Чтобы решить эту задачу, нужно разобраться с отношением площадей и углом между образующей и высотой конуса.

1. Обозначим:

   • \( S_o \) — площадь основания конуса.
   • \( S_b \) — площадь боковой поверхности конуса.
   • \( r \) — радиус основания.
   • \( l \) — образующая конуса.
   • \( h \) — высота конуса.

2. Дано:
   Площадь основания \( S_o = \pi r^2 \) в \( \sqrt{2} \) раз меньше площади боковой поверхности \( S_b = \pi r l \).

3. Уравнение по условию:
   \[ \pi r^2 = \frac{\pi r l}{\sqrt{2}} \]

4. Упростим:
   \[ r = \frac{l}{\sqrt{2}} \]

5. Отношение между образующей, радиусом и высотой:
   \[ l^2 = r^2 + h^2 \]

6. Подставим \( r \):
   \[ l^2 = \left(\frac{l}{\sqrt{2}}\right)^2 + h^2 \]

7. Упростим:
   \[ l^2 = \frac{l^2}{2} + h^2 \]

8. Решим уравнение:
   \[ h^2 = \frac{l^2}{2} \]

9. Значит:
   \[ h = \frac{l}{\sqrt{2}} \]

10. Найдем угол \(\theta\) между образующей и высотой:

    Угол \(\theta\) — это угол между образующей \(l\) и высотой \(h\).

    \[ \cos \theta = \frac{h}{l} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

11. Угол:
    \(\theta = 45^\circ\).

Ответ: Угол между образующей и высотой конуса равен 45 градусам.