Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 3п , а угол сектора равен 240

Чтобы найти площадь кругового сектора, можно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \]

где \( S \) — площадь сектора, \( \theta \) — угол сектора в градусах, \( r \) — радиус круга.

В данном случае угол сектора равен \( 240^\circ \), а длина дуги \( L \) равна \( 3\pi \). Длина дуги сектора также может быть выражена через радиус и угол:

\[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \]

Мы знаем угол и длину дуги, поэтому можем выразить радиус \( r \):

\[ 3\pi = \frac{240}{360} \times 2\pi r \]

Упростим это уравнение:

\[ 3\pi = \frac{2}{3} \times 2\pi r \] \[ 3\pi = \frac{4\pi r}{3} \] \[ r = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} \]

Теперь, имея радиус, можем найти площадь сектора:

\[ S = \frac{240}{360} \times \pi \left(\frac{9}{4}\right)^2 \]

Упростим:

\[ S = \frac{2}{3} \times \pi \times \frac{81}{16} \] \[ S = \frac{162\pi}{48} = \frac{27\pi}{8} \]

Таким образом, площадь кругового сектора составляет \( \frac{27\pi}{8} \) квадратных единиц.