13 В кубе ABCDA,B,C1D1 найдите угол между прямыми ВB1 и A1D.

Чтобы найти угол между прямыми \( BB_1 \) и \( A_1D \) в кубе \( ABCDA'B'C'D' \), давайте сначала представим структуру куба в пространстве.

1. Определим координаты вершин куба:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(1, 0, 0) \)
   • \( C(1, 1, 0) \)
   • \( D(0, 1, 0) \)
   • \( A'(0, 0, 1) \)
   • \( B'(1, 0, 1) \)
   • \( C'(1, 1, 1) \)
   • \( D'(0, 1, 1) \)

2. Определим векторы для прямых:

   • Прямая \( BB_1 \) проходит через точки \( B(1, 0, 0) \) и \( B'(1, 0, 1) \). Вектор этой прямой: \[ \vec{BB_1} = B' - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1) \]
   • Прямая \( A_1D \) проходит через точки \( A'(0, 0, 1) \) и \( D(0, 1, 0) \). Вектор этой прямой: \[ \vec{A_1D} = D - A' = (0, 1, 0) - (0, 0, 1) = (0, 1, -1) \]

3. Находим угол между векторами: Угол \( \theta \) между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] где \( \vec{u} = (0, 0, 1) \), \( \vec{v} = (0, 1, -1) \).

   Сначала вычислим скалярное произведение: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = -1 \]

   Теперь найдем длины векторов: \[ |\vec{u}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

   Подставим в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{-1}{1 \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

   Таким образом, угол \( \theta \) будет равен: \[ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 135^\circ \]

Итак, угол между прямыми \( BB_1 \) и \( A_1D \) составляет \( 135^\circ \).