Задача 1. Найти корни квадратного трехчлена x^2 + 6x + 8 Задача 2. Выделить квадрат двучлена из квадратных трехчленов * а) x^2 + 12x * б) 2x^2 - 7x - (49/16)) Задача 3. Разложить квадратные трехчлены на множители * а) x^2 + 5x - 6 * б) 2x^2 - 7x + 3 Задача 4. Решить уравнения способом введения новой переменной * а) x + √x - 2 = 0 * б) x^4 - 6x^2 + 5 = 0

Задача 1. Найти корни квадратного трехчлена \( x^2 + 6x + 8 \).

Чтобы найти корни квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \] где \( D \) — дискриминант, вычисляемый по формуле \( D = b^2 - 4ac \), с \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = 8 \).

Сначала найдем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4. \]

Теперь подставим значение \( D \) в формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2}. \]

Решение:

1. \( x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).
2. \( x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).

Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = -4 \).

Задача 2. Выделить квадрат двучлена из квадратных трехчленов.

• а) \( x^2 + 12x \).

Здесь можно выделить полный квадрат: \[ x^2 + 12x = (x + 6)^2 - 36. \]

Это уравнение можно записать как: \[ (x + 6)^2 - 36. \]

• б) \( 2x^2 - 7x \).

Сначала выделим общий множитель: \[ 2(x^2 - \frac{7}{2}x). \]

Теперь, выделим квадрат: \[ x^2 - \frac{7}{2}x = \left( x - \frac{7}{4} \right)^2 - \frac{49}{16}. \]

Таким образом, получается: \[ 2\left( \left( x - \frac{7}{4} \right)^2 - \frac{49}{16} \right) = 2\left( x - \frac{7}{4} \right)^2 - \frac{49}{8}. \]

Задача 3. Разложить квадратные трехчлены на множители.

• а) \( x^2 + 5x - 6 \).

Найдем два числа, которые в сумме дают \( 5 \), а в произведении \( -6 \). Это \( 6 \) и \( -1 \). Таким образом, разложим: \[ x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1). \]

• б) \( 2x^2 - 7x + 3 \).

Сначала найдем дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25. \]

Теперь найдем корни: \[ x_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, разложение будет: \[ 2x^2 - 7x + 3 = 2(x - 3)(x - \frac{1}{2}). \]

Задача 4. Решить уравнения способом введения новой переменной.

• а) \( x + \sqrt{x} - 2 = 0 \).

Введем новую переменную \( y = \sqrt{x} \), тогда \( x = y^2 \) и уравнение станет: \[ y^2 + y - 2 = 0. \]

Найдем корни: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \Rightarrow y_1 = 1, \quad y_2 = -2. \]

Для \( y_1 = 1 \) \( \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \).

Для \( y_2 = -2 \) (не рассматриваем, так как корень не может быть отрицательным).

Итак, единственный корень: \( x = 1 \).

• б) \( x^4 - 6x^2 + 5 = 0 \).

Вводим новую переменную \( y = x^2 \), тогда уравнение становится: \[ y^2 - 6y + 5 = 0. \]

Найдём дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16. \]

Корни: \[ y_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad y_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1. \]

Теперь вернемся к переменной \( x \):

1. \( y_1 = 5 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \sqrt{5} \) или \( x = -\sqrt{5} \).
2. \( y_2 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \) или \( x = -1 \).

Таким образом, корни: \( x = \sqrt{5}, -\sqrt{5}, 1, -1 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы, с радостью помогу!