Точка А принадлежит окружности, АK — перпендикуляр к ее плоскости, АK = 1 см, АВ — диаметр, ВС — хорда окружности, составляющая с АВ угол 45°. Радиус окружности равен 2 см.…

Чтобы доказать, что треугольник KСВ является прямоугольным, и найти длину отрезка КС, рассмотрим данную ситуацию и воспользуемся основными свойствами окружности.

1. Построение: Пусть точка \( A \) принадлежит окружности. Поскольку \( АВ \) — это диаметр окружности, и мы знаем, что радиус \( R = 2 \) см. Из этого следует, что длина \( АВ = 2R = 4 \) см.

2. Свойства углов: Угол между хордой \( BC \) и диаметром \( AB \) равен \( 45^\circ \). По свойству угла, подсеченного в окружности, угол \( ACB \) тоже будет равен \( 45^\circ \).

3. Согласно теореме о прямоугольном треугольнике: В треугольнике \( ACB \) \( AB \) является диаметром, а следовательно, угол \( ACB = 90^\circ \).

4. Координаты: Теперь найдем координаты всех точек для дальнейших расчетов. Учитывая, что окружность центрирована в начале координат (то есть точка \( O(0, 0) \)), точка \( A \) может быть представлена как \( A(2, 0) \), так как она находится на окружности с радиусом 2 см. Точка \( B(-2, 0) \) будет противоположной точкой на диаметре.

5. Находим точку C: Точка \( C \) находится на окружности, которая формирует угол \( 45^\circ \) с диаметром \( AB \). Поскольку угол составляет \( 45^\circ \), мы можем записать координаты \( C \) как \( C(2\cos(45^\circ), 2\sin(45^\circ)) = C(2/\sqrt{2}, 2/\sqrt{2}) = C(\sqrt{2}, \sqrt{2}) \).

6. Координаты точки K: Точка \( K \) располагается над точкой \( A \) на расстоянии 1 см (так как \( АК = 1 \) см). Значит координаты точки \( K \) будут \( K(2, 1) \).

7. Расчет длины сегмента KC: Теперь можем найти длину \( KC \) по формуле расстояния между двумя точками: \[ KC = \sqrt{(x_C - x_K)^2 + (y_C - y_K)^2} = \sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2 + (\sqrt{2} - 1)^2} \] Подставляем координаты: \[ KC = \sqrt{(\sqrt{2} - 2)^2 + (\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{(2 - 4\sqrt{2} + 4) + (2 - 2\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2 - 4\sqrt{2} + 6 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{8 - 6\sqrt{2}} \]

8. Проверка прямоугольности: Треугольник \( KCB \) является прямоугольным, как мы установили, потому что \( ACB \) прямой угол и точка \( K \) расположена перпендикулярно к плоскости окружности.

Таким образом, треугольник \( KCB \) является прямоугольным, и длина отрезка \( KC \) выражается в форме \( \sqrt{8 - 6\sqrt{2}} \).