В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и угла ACD=169°.Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD, где диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и угол ACD равен 169°, нам нужно найти меньший угол между диагоналями.

Обозначим сторону AB как \( a \). Тогда, согласно условию, длина диагонали AC будет равна \( 2a \).

В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно угол ABC, равный углу ACD, тоже равен 169°. Углы при вершинах D и B будут равны: \[ \angle DAB = \angle BCD = 180° - 169° = 11°. \]

Теперь мы можем использовать свойства диагоналей параллелограмма. Угол между диагоналями AC и BD можно найти с помощью формулы: \[ \cos(\theta) = \frac{AC^2 + BD^2 - AB^2 - AD^2}{2 \cdot AC \cdot BD}. \]

В параллелограмме длины диагоналей можно выразить через стороны и угол: \[ AC^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(\angle DAB), \] где \( b \) — это длина стороны AD, и \( \angle DAB = 11° \).

Однако, чтобы упростить задачу, можно использовать тот факт, что угол между диагоналями можно найти как разность углов в вершинах. Поскольку угол ACD составляет 169°, угол B между диагоналями будет равен: \[ \angle ACB = 180° - \angle ACD = 180° - 169° = 11°. \]

Следовательно, меньшее из углов между диагоналями параллелограмма будет равным 11°.

Таким образом, ответ: меньший угол между диагоналями параллелограмма равен 11°.