Реши и объясни

Давай решим задачу вместе.

Мы видим, что нужно найти предел функции, когда x стремится к плюс бесконечности:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{12(\sqrt{16x^2 - 5x} - \sqrt{4x^2 + 7})}{\sqrt{x^2 - 9x} + \sqrt{9x^2 + 8x}} \]

Шаг 1. Распишем все выражения под корнями, выделяя старший член. Мы замечаем, что когда x стремится к бесконечности, старший член в каждом выражении будет доминировать.

Шаг 2. Из простоты заменим выражения под корнями старшими членами:

• В числителе:

  • \(\sqrt{16x^2 - 5x} \approx \sqrt{16x^2} = 4x\)
  • \(\sqrt{4x^2 + 7} \approx \sqrt{4x^2} = 2x\)

• В знаменателе:

  • \(\sqrt{x^2 - 9x} \approx \sqrt{x^2} = x\)
  • \(\sqrt{9x^2 + 8x} \approx \sqrt{9x^2} = 3x\)

Шаг 3. Подставим приближения: \[ \frac{12(4x - 2x)}{x + 3x} \]

Упростим: \[ \frac{12 \times 2x}{4x} = \frac{24x}{4x} = 6 \]

Таким образом, предел равен 6.

Если останутся вопросы или что-то останется непонятным, дай знать!