Реши неравенство. sin⁡7xcos⁡3x−sin⁡3xcos⁡7x≤0 Найди минимальное значение x из промежутка (π/6;π/2) , удовлетворяющее данному неравенству.

Для решения неравенства \( \sin 7x \cos 3x - \sin 3x \cos 7x \leq 0 \) воспользуемся формулой разности синусов:

\[ \sin A \cos B - \sin B \cos A = \sin(A - B) \]

Подставляя \( A = 7x \) и \( B = 3x \), получаем:

\[ \sin(7x) \cos(3x) - \sin(3x) \cos(7x = \sin(7x - 3x) = \sin(4x) \]

Таким образом, неравенство преобразуется к следующему виду:

\[ \sin(4x) \leq 0 \]

Теперь найдем, при каких значениях \( x \) функция \( \sin(4x) \) принимает отрицательные значения. Функция синуса отрицательна на интервалах:

\[ (2k\pi, (2k + 1)\pi), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Следовательно, нам нужно решить:

\[ 4x \in (2k\pi, (2k + 1)\pi) \]

Для этого можем написать:

\[ 2k\pi < 4x < (2k + 1)\pi \]

Делим все части на 4:

\[ \frac{2k\pi}{4} < x < \frac{(2k + 1)\pi}{4} \]

что упрощается до:

\[ \frac{k\pi}{2} < x < \frac{(2k + 1)\pi}{4} \]

Рассмотрим целые значения \( k \):

1. Для \( k = 0 \):

   \[ 0 < x < \frac{\pi}{4} \]

2. Для \( k = 1 \):

   \[ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4} \]

Нас интересует интервал из первой группы, поскольку второй не попадает в диапазон \( \left(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right) \). Тогда мы смотрим на интервал \( 0 < x < \frac{\pi}{4} \).

Теперь найдем пересечение с \( \left(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right) \):

\[ \text{Объединяя два интервала, получаем: } \left(\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{4}\right) \]

Таким образом, минимальное значение \( x \) из данного интервала:

\[ \boxed{\frac{\pi}{6}} \]