Реши неравенство. sin⁡7xcos⁡3x−sin⁡3xcos⁡7x≤0 Найди минимальное значение x из промежутка (π/6;π/2) , удовлетворяющее данному неравенству.

Для решения неравенства \( \sin(7x) \cos(3x) - \sin(3x) \cos(7x) \leq 0 \) можем воспользоваться формулой разности синусов.

Согласно формуле разности синусов, имеем: \[ \sin(7x) \cos(3x) - \sin(3x) \cos(7x) = \sin(7x - 3x) = \sin(4x). \]

Таким образом, неравенство сводится к: \[ \sin(4x) \leq 0. \]

Теперь, чтобы найти решения этого неравенства, нужно определить, при каких значениях \( x \) функция \( \sin(4x) \) принимает не положительные значения.

Функция \( \sin(y) \leq 0 \) на интервалах: \[ y \in \left[k\pi, (k+1)\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Подставим \( y = 4x \): \[ 4x \in \left[k\pi, (k+1)\pi\right] \Rightarrow x \in \left[\frac{k\pi}{4}, \frac{(k+1)\pi}{4}\right]. \]

Теперь найдем \( x \) для различных \( k \) и проверим, какие из интервалов попадают в заданный промежуток \( \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) \).

1. Для \( k = 0 \): \[ x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]. \] Этот интервал не пересекается с \( \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) \).

2. Для \( k = 1 \): \[ x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]. \] Этот интервал пересекается с \( \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) \).

Таким образом, из интервала \( \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] \) выбираем значение, которое является минимальным и больше \( \frac{\pi}{6} \): \[ x = \frac{\pi}{4}. \]

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение неравенству: \[ \sin(4x) = \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin(\pi) = 0. \] Это значение удовлетворяет неравенству \( \sin(4x) \leq 0 \).

Следовательно, минимальное значение \( x \) из промежутка \( \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) \), удовлетворяющее данному неравенству, равно: \[ \boxed{\frac{\pi}{4}}. \]