Из точки А вне окружности проведена касательная АВ и секущая AD, как показано на картинке. Найдите длину отрезка АС, если CD = 14, а AB = 6V2. 9 класс подробное решение

Для решения этой задачи будем использовать свойство касательной и секущей к окружности.

Известно, что квадрат длины касательной, проведенной из точки вне окружности, равен произведению длин отрезков секущей, которая проходит через ту же точку.

Обозначим:

• \( AB = 6\sqrt{2} \) (длина касательной)
• \( CD = 14 \)
• \( AC = x \) (длина отрезка, который мы ищем)
• \( AD = AC + CD = x + 14 \) (длина секущей)

Согласно свойству, имеем:

\[ AB^2 = AC \cdot AD \]

Подставим известные значения:

\[ (6\sqrt{2})^2 = x \cdot (x + 14) \]

Посчитаем квадрат касательной:

\[ 72 = x(x + 14) \]

Раскроем скобки:

\[ 72 = x^2 + 14x \]

Переносим все влево:

\[ x^2 + 14x - 72 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 196 + 288 = 484 \]

Находим корни уравнения по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{484}}{2} \]

Так как \( \sqrt{484} = 22 \), то получаем:

\[ x = \frac{-14 \pm 22}{2} \]

Решения:

1. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x = \frac{-36}{2} = -18 \) (отрицательное значение не имеет физического смысла)

Следовательно, длина отрезка \( AC \) равна:

\[ \boxed{4} \]