4. На стороне ВС треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ:МС 2:9. Через точку М проведи прямую, которая параллельна стороне АС треугольника и пересекает сторону АВ в точке К.…

Для решения задачи, давайте сначала рассмотрим треугольник ABC и точки, заданные в условии.

1. Определение отношений и построение: Мы знаем, что на стороне BC треугольника ABC выбрана точка M так, что \( BM : MC = 2 : 9 \). Это означает, что длина BM составит \( \frac{2}{11} \) от всей длины BC, а длина MC составит \( \frac{9}{11} \) от BC, если BC обозначить за \( x \). Таким образом, можем представить: \[ BM = \frac{2}{11} x, \quad MC = \frac{9}{11} x. \]

2. Параллельная прямая: Через точку M проведена прямая, параллельная AC, которая пересекает AB в точке K. По свойству подобных треугольников, поскольку MK параллельно AC, треугольники AMK и ABC будут подобны.

   В связи с этим, можно записать отношение сторон: \[ \frac{MK}{AC} = \frac{BM}{BC}. \] Подставим известные величины: \( MK = 18 \) и выражение для BM. Мы можем обозначить сторону AC как \( y \) и BC как \( x \). Тогда: \[ \frac{18}{y} = \frac{\frac{2}{11}x}{x}. \] Упрощая, получаем: \[ \frac{18}{y} = \frac{2}{11}. \] Теперь, решим это уравнение относительно y: \[ y = 18 \cdot \frac{11}{2} = 99. \] Таким образом, сторона AC равна \( 99 \) см.

3. Похожие треугольники: Теперь перейдем ко второй части задачи с треугольником РКТ. В соответствии с условием, داریم: \[ MN = 1.8 \text{ см}. \] Поскольку рассматриваем треугольники, которые являются подобными, используем отношение сторон. Отношение между длинами будет таким же, как и в треугольниках МNO и РКТ: \[ \frac{RK}{MN} = \frac{MK}{OM}. \] Подставим известные значения: \[ \frac{RK}{1.8} = \frac{18}{5}. \] Теперь, чтобы найти RK, умножим обе стороны на \( 1.8 \): \[ RK = 1.8 \cdot \frac{18}{5} = \frac{32.4}{5} = 6.48 \text{ см}. \]

На основе анализа задач, можем подытожить: сторона AC равна \( 99 \) см, а сторона RK равна \( 6.48 \) см.