Натуральное число называется интересным, если все цифры, входящие в его запись, повторяются в ней хотя бы дважды (например, 3367637 - интересное, 367563- нет), и ни одна цифра не…

Чтобы найти количество шестизначных интересных чисел, начнем с определения условий. Шестизначное число не может содержать нули, и каждая цифра, входящая в его запись, должна повторяться как минимум дважды.

Когда речь идет о шестизначных числах, можем использовать цифры от 1 до 9. Поскольку все цифры должны повторяться, возможные варианты формирования интересных шестизначных чисел сводятся к выбору цифр и их распределению.

1. Варианты количества разных цифр:

   • 2 разные цифры: Например, 112233.
   • 3 разные цифры: Например, 111222.
   • 4 разные цифры: Это невозможно в шестизначном числе, так как при использовании 4 разных цифр мы не можем удовлетворить условие повторения хотя бы дважды.

2. Подсчет для 2 разных цифр: Выберем 2 цифры из 1-9. Количество способов выбрать 2 цифры из 9:
   \[ C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36. \]

   Каждая из этих цифр должна повторяться по 3 раза в числе. Расположение 6 цифр (например, 3 единицы и 3 двоих) можно найти с помощью формулы перестановок с повторениями: \[ \frac{6!}{3!3!} = 20. \]

   Таким образом, для двух разных цифр количество шестизначных интересных чисел будет: \[ 36 \times 20 = 720. \]

3. Подсчет для 3 разных цифр: Если у нас 3 разные цифры, например, 1, 2, 3, необходимо, чтобы одна цифра встречалась 2 раза, а две другие - по 2 раза. Поэтому одно из чисел будет повторяться 2 раза, а два других - по 2 раза. Например, 112233.

   Количество способов выбрать 3 цифры из 9: \[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84. \]

   Теперь количество способов расставить 2, 2, и 2 в 6 цифрах: \[ \frac{6!}{2!2!2!} = 90. \]

   На этом этапе мы имеем общее количество интересных чисел для трех разных цифр: \[ 84 \times 90 = 7560. \]

4. Общее количество интересных шестизначных чисел: Сложим количество интересных чисел, основанных на 2 и 3 различных цифрах: \[ 720 + 7560 = 8280. \]

Таким образом, существует 8280 шестизначных интересных чисел.