В группе из шести человек два отличника. Наугад выбрали двух человек. Составить закон распределения случайной величины X – число отличников среди выбранных. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Question 1

Задача Задача №2419205

А

Аноним

05 декабря 2024 02:21 · публичный вопрос

А

Аноним 05 декабря 2024 02:21

В группе из шести человек два отличника. Наугад выбрали двух человек. Составить закон распределения случайной величины X – число отличников среди выбранных. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Answer

Для решения задачи начнем с определения случайной величины \(X\), которая будет обозначать количество отличников среди выбранных двух человек. Так как в группе из шести человек два отличника, то возможные значения \(X\) могут быть: \(0\) (оба выбраны не отличники), \(1\) (один отличник и один не отличник) и \(2\) (оба отличника).

Теперь рассчитаем вероятности для каждого из значений \(X\).

1. Понимание выборки

Общее количество способов выбрать 2 человека из группы из 6: \[ \binom{6}{2} = 15. \]

Вероятность того, что \(X = 0\): Оба выбранных не отличники. В группе 4 не отличника.

Количество способов выбрать 2 не отличника: \[ \binom{4}{2} = 6. \] Следовательно, \[ P(X = 0) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}. \]

Вероятность того, что \(X = 1\): Один отличник и один не отличник.

Количество способов выбрать 1 отличника из 2 и 1 не отличника из 4: \[ \binom{2}{1} \cdot \binom{4}{1} = 2 \cdot 4 = 8. \] Следовательно, \[ P(X = 1) = \frac{8}{15}. \]

Вероятность того, что \(X = 2\): Оба отличника.

Количество способов выбрать 2 отличника из 2: \[ \binom{2}{2} = 1. \] Следовательно, \[ P(X = 2) = \frac{1}{15}. \]

2. Закон распределения

Составим закон распределения случайной величины \(X\):

\[ \begin{align*} P(X = 0) &= \frac{2}{5} = \frac{6}{15}, \\ P(X = 1) &= \frac{8}{15}, \\ P(X = 2) &= \frac{1}{15}. \end{align*} \]

3. Математическое ожидание

Математическое ожидание \(E(X)\) вычисляется по формуле: \[ E(X) = \sum_{i=0}^{2} x_i \cdot P(X = x_i), \] где \(x_i\) — возможные значения величины \(X\).

Подставляем значения: \[ E(X) = 0 \cdot \frac{6}{15} + 1 \cdot \frac{8}{15} + 2 \cdot \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}. \]

4. Дисперсия

Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. \]

Сначала вычислим \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = \sum_{i=0}^{2} x_i^2 \cdot P(X = x_i). \] Подставляем значения: \[ E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{6}{15} + 1^2 \cdot \frac{8}{15} + 2^2 \cdot \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}. \]

Теперь находим дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{4}{5} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{5} - \frac{4}{9}. \]

Найдём общий знаменатель (45): \[ \frac{4}{5} = \frac{36}{45}, \quad \frac{4}{9} = \frac{20}{45}, \] \[ D(X) = \frac{36}{45} - \frac{20}{45} = \frac{16}{45}. \]

Ответ

Закон распределения: \[ \begin{align*} P(X = 0) &= \frac{6}{15} = \frac{2}{5}, \\ P(X = 1) &= \frac{8}{15}, \\ P(X = 2) &= \frac{1}{15}. \end{align*} \]

Математическое ожидание: \[ E(X) = \frac{2}{3}. \]

Дисперсия: \[ D(X) = \frac{16}{45}. \]

Question 2

В группе из шести человек два отличника. Наугад выбрали двух человек. Составить закон распределения случайной величины X – число отличников среди выбранных. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Answer

Для решения задачи начнем с определения случайной величины \(X\), которая будет обозначать количество отличников среди выбранных двух человек. Так как в группе из шести человек два отличника, то возможные значения \(X\) могут быть: \(0\) (оба выбраны не отличники), \(1\) (один отличник и один не отличник) и \(2\) (оба отличника). Теперь рассчитаем вероятности для каждого из значений \(X\). ### 1. Понимание выборки Общее количество способов выбрать 2 человека из группы из 6: \[ \binom{6}{2} = 15. \] **Вероятность того, что \(X = 0\):** Оба выбранных не отличники. В группе 4 не отличника. Количество способов выбрать 2 не отличника: \[ \binom{4}{2} = 6. \] Следовательно, \[ P(X = 0) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}. \] **Вероятность того, что \(X = 1\):** Один отличник и один не отличник. Количество способов выбрать 1 отличника из 2 и 1 не отличника из 4: \[ \binom{2}{1} \cdot \binom{4}{1} = 2 \cdot 4 = 8. \] Следовательно, \[ P(X = 1) = \frac{8}{15}. \] **Вероятность того, что \(X = 2\):** Оба отличника. Количество способов выбрать 2 отличника из 2: \[ \binom{2}{2} = 1. \] Следовательно, \[ P(X = 2) = \frac{1}{15}. \] ### 2. Закон распределения Составим закон распределения случайной величины \(X\): \[ \begin{align*} P(X = 0) &= \frac{2}{5} = \frac{6}{15}, \\ P(X = 1) &= \frac{8}{15}, \\ P(X = 2) &= \frac{1}{15}. \end{align*} \] ### 3. Математическое ожидание Математическое ожидание \(E(X)\) вычисляется по формуле: \[ E(X) = \sum_{i=0}^{2} x_i \cdot P(X = x_i), \] где \(x_i\) — возможные значения величины \(X\). Подставляем значения: \[ E(X) = 0 \cdot \frac{6}{15} + 1 \cdot \frac{8}{15} + 2 \cdot \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}. \] ### 4. Дисперсия Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. \] Сначала вычислим \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = \sum_{i=0}^{2} x_i^2 \cdot P(X = x_i). \] Подставляем значения: \[ E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{6}{15} + 1^2 \cdot \frac{8}{15} + 2^2 \cdot \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}. \] Теперь находим дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{4}{5} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{5} - \frac{4}{9}. \] Найдём общий знаменатель (45): \[ \frac{4}{5} = \frac{36}{45}, \quad \frac{4}{9} = \frac{20}{45}, \] \[ D(X) = \frac{36}{45} - \frac{20}{45} = \frac{16}{45}. \] ### Ответ Закон распределения: \[ \begin{align*} P(X = 0) &= \frac{6}{15} = \frac{2}{5}, \\ P(X = 1) &= \frac{8}{15}, \\ P(X = 2) &= \frac{1}{15}. \end{align*} \] Математическое ожидание: \[ E(X) = \frac{2}{3}. \] Дисперсия: \[ D(X) = \frac{16}{45}. \]