Решите систем уравнений 3x+y=10\ x ^ 2 - y =8.

Для решения системы уравнений:

1. \(3x + y = 10\)
2. \(x^2 - y = 8\)

Начнем с первого уравнения. Мы можем выразить \(y\) через \(x\):

\[y = 10 - 3x.\]

Теперь подставим это значение \(y\) во второе уравнение:

\[x^2 - (10 - 3x) = 8.\]

Упростим это уравнение:

\[x^2 - 10 + 3x = 8.\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[x^2 + 3x - 18 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac,\] где \(a = 1\), \(b = 3\) и \(c = -18\).

Подставим значения:

\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81.\]

Дискриминант положителен, значит у уравнения два различных корня. Найдем корни с помощью формулы:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 9}{2}.\]

Решения будут:

1. \(x_1 = \frac{6}{2} = 3\)
2. \(x_2 = \frac{-12}{2} = -6\)

Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\).

Для \(x_1 = 3\): \[y = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1.\] Таким образом, первая пара решений: \((3, 1)\).

Для \(x_2 = -6\): \[y = 10 - 3 \cdot (-6) = 10 + 18 = 28.\] Таким образом, вторая пара решений: \((-6, 28)\).

Итак, система уравнений имеет два решения:

1. \((3, 1)\)
2. \((-6, 28)\)