Найдите неопределённый и вычислите определённый интегралы методом интегрирования по частям (по вариантам): 1) integrate x * sin 2x dx

Для вычисления интеграла \(\int x \sin(2x) \, dx\) методом интегрирования по частям, используем формулу:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Выберем:

• \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\)
• \(dv = \sin(2x) \, dx\) \(\Rightarrow v = -\frac{1}{2} \cos(2x)\) (так как \(\int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \cos(kx)\))

Теперь подставим в формулу интегрирования по частям:

\[ \int x \sin(2x) \, dx = uv - \int v \, du \]

Подставляем выбранные значения:

\[ = x \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) dx \]

\[ = -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx \]

Теперь вычислим \(\int \cos(2x) \, dx\):

\[ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) \]

Подставим это значение обратно:

\[ \int x \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) + C \]

\[ = -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \]

Таким образом, неопределённый интеграл:

\[ \int x \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл на интервале \([a, b]\):

\[ \int_a^b x \sin(2x) \, dx = \left[-\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x)\right]_a^b \]

Подставьте значения \(a\) и \(b\) в полученную формулу, чтобы найти результат определённого интеграла.