Найдите точку минимума функции y=0,5x28x+12lnx+10y = 0{,}5x^2 - 8x + 12 \ln x + 10.
Привет! Давай разберём твоё задание по профильной математике.
Ты привёл функцию: \( y = 0.5x^2 - 8x + 12 \ln x + 10 \) и искал точку минимума. Твой ответ – "7", а правильный ответ – "6". Давай разберёмся, почему так получилось.
Сначала нужно определить область определения функции. В данном случае, так как у нас есть \(\ln x\), область определения будет \(x \in (0; \infty)\).
Далее находим производную функции: \[ y' = 0.5 \cdot 2x - 8 + 12 \cdot \frac{1}{x} = x - 8 + \frac{12}{x} \]
Для нахождения точки минимума, необходимо найти нули производной \(y'\): \[ x - 8 + \frac{12}{x} = 0 \] Умножим на \(x\) (так как \(x > 0\)): \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] Теперь решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \] Корни: \[ x_1 = \frac{8 - \sqrt{D}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{8 + \sqrt{D}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \]
Нам нужно определить, какая из этих точек - точка минимума. Обычно, минимумы находятся в точках, где производная меняет знак. Мы можем подставить значения \(x = 2\) и \(x = 6\) в производную:
- При \(x < 2\), производная положительная (функция возрастает);
- При \(2 < x < 6\), производная отрицательная (функция убывает);
- При \(x > 6\), производная снова положительная (функция возрастает).
Таким образом, точка минимума действительно \(x = 6\).
Теперь ты можешь видеть, из-за чего ответ "7" оказался неверным. Точка минимума - это не просто значение, а точка, где производная меняет знак и наименьшее значение функции.
Если есть вопросы или ты хочешь что-то уточнить, дай знать! А ещё, оценишь мой ответ лайком или дизлайком?
