х²+2х-24 больше или равно 0
Чтобы решить неравенство \( x^2 + 2x - 24 \geq 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \( x^2 + 2x - 24 = 0 \).
Для этого используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -24 \).
Подставляем значения:
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100. \]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем их с помощью формулы решения квадратного уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставим значения:
\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4, \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6. \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -6 \).
Следующим шагом — определим промежутки, где неравенство \( x^2 + 2x - 24 \geq 0 \) выполняется. Это делается с использованием тестовых точек из интервалов, которые мы получили от корней: \( (-\infty, -6) \), \( (-6, 4) \), \( (4, +\infty) \).
Выберем точку из интервала \( (-\infty, -6) \), например, \( x = -7 \): \[ (-7)^2 + 2(-7) - 24 = 49 - 14 - 24 = 11 \geq 0. \] Этот интервал подходит.
Выберем точку из интервала \( (-6, 4) \), например, \( x = 0 \): \[ 0^2 + 2(0) - 24 = -24 < 0. \] Этот интервал не подходит.
Выберем точку из интервала \( (4, +\infty) \), например, \( x = 5 \): \[ 5^2 + 2(5) - 24 = 25 + 10 - 24 = 11 \geq 0. \] Этот интервал подходит.
Таким образом, решение неравенства \( x^2 + 2x - 24 \geq 0 \) будет:
\[ x \in (-\infty, -6] \cup [4, +\infty). \]
Это значит, что неравенство выполняется для всех \( x \) в этих промежутках.
