1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в 43 раза? 2. От треугольной пирамиды, объем которой равен 97, отсечена треугольная пирамида плоскостью,…

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов по порядку:

1. Увеличение объема пирамиды при увеличении высоты: Объем пирамиды можно выразить формулой \( V = \frac{1}{3} S h \), где \( S \) – площадь основания, а \( h \) – высота. Если высоту увеличить в 43 раза, объем увеличится в 43 раза, так как площадь основания не изменяется. Таким образом, объем новой пирамиды будет равен \( 43V \).

2. Объем отсеченной треугольной пирамиды: Если плоскость отсекла пирамиду, проходя через вершину и среднюю линию основания, то отсеченная пирамида будет уменьшенной копией исходной. Объем уменьшенной пирамиды будет равен одной восьмой объема исходной, так как размеры (высота и основание) уменьшились в два раза (по сравнению с высотой и основанием исходной пирамиды). Следовательно, объем отсеченной пирамиды будет: \[ V_{отсеченной} = \frac{1}{8} V_{исходной} = \frac{1}{8} \times 97 = 12.125 \]

3. Площадь поверхности шара, вписанного в цилиндр: Полная поверхность цилиндра определяется формулой \( S_{цилиндра} = 2\pi r (h + r) \). Зная, что площадь полной поверхности цилиндра равна 234, можно выразить радиус и высоту цилиндра. Шар, вписанный в цилиндр, имеет радиус, равный радиусу основания цилиндра, и высота цилиндра равна диаметру шара. Площадь поверхности шара равна \( S_{шара} = 4 \pi r^2 \). Подсчет радиуса и высоты приведет нас к значению площади шара, которое нужно будет найти с учетом данных.

4. Объем шара, описанного около цилиндра: Если цилиндр описан вокруг шара, то объем шара можно выразить через радиус шара \( r \) как \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 \). Для нахождения объема шара при известном объеме цилиндра (273 см³) можно использовать соотношение между объемами, но точные размеры цилиндра понадобятся. Формула объема цилиндра \( V_{цилиндра} = \pi r^2 h \) также поможет в расчетах.

5. Объем детали в цилиндрическом сосуде: Чтобы найти объем детали, нужно учитывать изменение уровня воды. Если уровень жидкости поднялся на 2 см, то объем детали равен объему, который вытолкнула деталь. Объем поднявшейся воды можно найти по формуле \( V = S_{основания} \times h_{подъема} \). Для вычисления необходимо знать площадь основания сосуда, которую можно определить из объемов и высоты.

6. Объем детали при увеличении уровня воды: Поскольку уровень увеличился в 1.51 раза, новый объем воды можно рассчитать аналогичным образом, как и в предыдущем вопросе. Объем детали будет равен объему вытолкнутой жидкости, который составляет \( V_{детали} = V_{начального} \times (1.51 - 1) \).

7. Площадь полной поверхности отсеченного конуса: Положим высоту полного конуса \( H \) и соответствующую высоту от сечения \( h \) (в высоте 8:7). Площадь полной поверхности конуса \( S_{конуса} = \pi r (r + l) \), где \( l \) – образующей конуса. Площадь отсеченного конуса можно вычислить пропорционально основной площади. Если отсеченная часть в соотношении 1:8 и используется такая же логика, по аналогии, вы можете получить новую площадь.

Если у вас остались вопросы по конкретным расчетам, пожалуйста, дайте знать, и я с удовольствием помогу!