Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.

Для решения задачи о радиусе мяча, который бросали в оконную решетку, нам нужно определить, как связано количество случаев, когда мяч пролетел через решетку, с размерами клетки и радиусом мяча.

1. Параметры решетки: Сторона каждой клетки решетки составляет 20 см, следовательно, площадь одной клетки равна \(20 \, \text{см} \times 20 \, \text{см} = 400 \, \text{см}^2\).

2. Анализ бросков: Из 100 бросков мяч пролетел через решетку, не задевая ее, в 50 случаях. Это означает, что в 50% бросков мяч не соприкасался с решеткой. Чтобы мяч прошел сквозь решетку, его центр должен находиться внутри области, свободной от решетки.

3. Определение области: Если радиус мяча равен \(r\), то мяч не заденет решетку, если его центр будет находиться не ближе \(r\) см от краев клетки. Таким образом, центр мяча должен находиться в квадрате размером \((20 - 2r) \, \text{см}\) на \((20 - 2r) \, \text{см}\).

4. Вероятность не зацепить решетку: Площадь квадрата, в которой центр мяча может находиться, когда он не задевает решетку, составляет \((20 - 2r)^2\). Общая площадь клетки — 400 см². Вероятность того, что мяч пройдет сквозь решетку, не задевая ее, можно записать как:

\[ P = \frac{(20 - 2r)^2}{400} \]

5. Уравнение для решения: Поскольку мы знаем, что эта вероятность составляет 0.5 (50%), у нас есть:

\[ \frac{(20 - 2r)^2}{400} = 0.5 \]

Умножим обе стороны на 400: \[ (20 - 2r)^2 = 200 \]

Теперь, извлекем квадратный корень: \[ 20 - 2r = \sqrt{200} \quad \text{или} \quad 20 - 2r = -\sqrt{200} \]

Поскольку радиус не может быть отрицательным, оставим только положительное решение: \[ 20 - 2r = \sqrt{200} \] \[ 20 - 2r \approx 14.14 \quad (\text{так как } \sqrt{200} \approx 14.14) \]

Теперь решим для \(r\): \[ 2r = 20 - 14.14 \approx 5.86 \] \[ r \approx 2.93 \, \text{см} \]

Таким образом, приближенный радиус мяча составляет около 2.93 см.