Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см ,а его площадь 54 см². найти катеты

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и площадь, можно воспользоваться следующими формулами.

1. Площади прямоугольного треугольника:
   \[ S = \frac{a \cdot b}{2} \]
   где \( S \) — площадь, \( a \) и \( b \) — катеты треугольника.

2. По теореме Пифагора:
   \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
   где \( c \) — гипотенуза.

В данной задаче нам известны значения:

• \( c = 15 \, \text{см} \)
• \( S = 54 \, \text{см}^2 \)

Сначала выразим \( a \cdot b \) из формулы площади:
\[ a \cdot b = 2S = 2 \cdot 54 = 108 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a \cdot b = 108 \)
2. \( a^2 + b^2 = c^2 = 15^2 = 225 \)

Чтобы решить эту систему, выразим \( b \) через \( a \):
\[ b = \frac{108}{a} \]

Подставим это в уравнение Пифагора:
\[ a^2 + \left(\frac{108}{a}\right)^2 = 225 \]

Упростим уравнение:
\[ a^2 + \frac{11664}{a^2} = 225 \]

Умножим всё на \( a^2 \) для устранения дроби:
\[ a^4 - 225a^2 + 11664 = 0 \]

Обозначим \( x = a^2 \), тогда у нас получается квадратное уравнение:
\[ x^2 - 225x + 11664 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-225)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11664 = 50625 - 46656 = 3954 \]

Теперь найдем значения \( x \): \[ x_{1,2} = \frac{225 \pm \sqrt{3954}}{2} \]

Вычислив \( \sqrt{3954} \approx 62.8 \), получаем: \[ x_1 \approx \frac{225 + 62.8}{2} \approx 143.9 \] \[ x_2 \approx \frac{225 - 62.8}{2} \approx 81.1 \]

Теперь найдем \( a \) и \( b \):

1. Если \( x_1 \approx 143.9 \):
   \( a \approx \sqrt{143.9} \approx 12 \, \text{см} \),
   \( b \approx \frac{108}{12} = 9 \, \text{см} \).

2. Если \( x_2 \approx 81.1 \):
   \( a \approx \sqrt{81.1} \approx 9 \, \text{см} \),
   \( b \approx \frac{108}{9} = 12 \, \text{см} \).

В итоге, катеты треугольника равны \( 9 \, \text{см} \) и \( 12 \, \text{см} \).