Вычислить площадь фигуры ограниченная линиями y=4-x^2 y=0

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = 4 - x^2 \) и осью \( y = 0 \), нужно сначала найти точки пересечения кривой с осью абсцисс. Для этого приравняем \( y \) к нулю:

\[ 4 - x^2 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 = 4 \\ x = -2 \quad \text{и} \quad x = 2 \]

Таким образом, фигура ограничена линиями \( x = -2 \), \( x = 2 \), \( y = 4 - x^2 \) и \( y = 0 \).

Теперь можно вычислить площадь, используя интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \]

Посчитаем этот интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x^2 \, dx \]

Вычислим первый интеграл:

\[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4 \cdot (2 - (-2)) = 4 \cdot 4 = 16 \]

Теперь вычислим второй интеграл:

\[ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = \left( \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3} \]

Теперь подставим результаты обратно в формулу для площади:

\[ S = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]

Таким образом, площадь фигуры равна:

\[ \frac{32}{3} \]

Ответ: \( \frac{32}{3} \) квадратных единиц.