При каких значениях m уравнение: 1) x^2 + 2mx + 15 = 0 имеет два корня; 2) 4x^2 + 4mx + 9 = 0 не имеет корней
Давайте рассмотрим оба уравнения по отдельности.
- Для уравнения \(x^2 + 2mx + 15 = 0\) у нас есть квадратное уравнение, и мы можем использовать дискриминант \(D\) для определения количества корней. Дискриминант определяется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \(a = 1\), \(b = 2m\) и \(c = 15\).
Подставим значения в формулу для дискриминанта: \[ D = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4m^2 - 60. \]
Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть больше нуля: \[ 4m^2 - 60 > 0. \]
Решаем это неравенство: \[ 4m^2 > 60 \] \[ m^2 > 15 \] \[ m > \sqrt{15} \quad \text{или} \quad m < -\sqrt{15}. \]
Таким образом, уравнение \(x^2 + 2mx + 15 = 0\) имеет два корня, если \(m > \sqrt{15}\) или \(m < -\sqrt{15}\).
- Теперь рассмотрим уравнение \(4x^2 + 4mx + 9 = 0\). Оно также является квадратным, и мы снова применим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \(a = 4\), \(b = 4m\) и \(c = 9\).
Подставим значения: \[ D = (4m)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 16m^2 - 144. \]
Чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля: \[ 16m^2 - 144 < 0. \]
Решаем это неравенство: \[ 16m^2 < 144 \] \[ m^2 < 9 \] \[ -3 < m < 3. \]
Таким образом, уравнение \(4x^2 + 4mx + 9 = 0\) не имеет корней, если \(m\) лежит в интервале \((-3, 3)\).
В итоге, для:
- \(m > \sqrt{15}\) или \(m < -\sqrt{15}\) (два корня);
- \(-3 < m < 3\) (нет корней).
