🐷🐽🐖: У Пети есть три палочки, длины которых равны aa см, bb см и cc см. Известно, что числа aa, bb и cc натуральные, различные, и ac=b2ac=b2. Петя смог сложить из своих палочек…

Решим задачу, основываясь на данных условиях. У нас есть три палочки длиной \( a \), \( b \) и \( c \), где \( b = 72 \) см и известно, что \( ac = b^2 \). Это можно переписать как \( ac = 72^2 = 5184 \). Значит, длина одной палочки зависит от длины другой.

Так как палочки различные натуральные числа, можем выразить \( c \) через \( a \):

\[ c = \frac{5184}{a} \]

Чтобы образовать треугольник, должно выполняться неравенство треугольника, то есть сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны:

1. \( a + b > c \)
2. \( a + c > b \)
3. \( b + c > a \)

Подставим \( b = 72 \):

1. \( a + 72 > \frac{5184}{a} \)
2. \( a + \frac{5184}{a} > 72 \)
3. \( 72 + \frac{5184}{a} > a \)

Теперь упрощаем каждое неравенство:

1. \( a + 72 > \frac{5184}{a} \)
   Умножим обе стороны на \( a \) (учитываем, что \( a > 0 \)): \[ a^2 + 72a > 5184 \quad \Rightarrow \quad a^2 + 72a - 5184 > 0 \]

   Найдем корни квадратного уравнения: \[ D = 72^2 + 4 \cdot 5184 = 5184 + 5184 = 10368 \]

   \[ a = \frac{-72 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-72 \pm 102}{2} \]

   Корни будут: \[ a_1 = \frac{30}{2} = 15, \quad a_2 = \frac{-174}{2} = -87 \, (\text{не подходим}) \]

   Таким образом, \( a > 15 \).

2. \( a + \frac{5184}{a} > 72 \) Умножим на \( a \): \[ a^2 - 72a + 5184 > 0 \]

   Корни: \[ D = 72^2 - 4 \cdot 5184 = 5184 - 20736 = -15552 \quad (\text{все значения } a \text{ подходят}) \]

3. \( 72 + \frac{5184}{a} > a \) Умножим на \( a \): \[ 72a + 5184 > a^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 72a - 5184 < 0 \]

   Это неравенство между корнями \( 15 \) и \( 87 \) (так как второй корень мы найдём по формуле, а \( a < 87 \)).

Итак, объединяем результаты:

\[ 15 < a < 87 \]

Теперь мы можем подставить разные натуральные значения в диапазоне от 16 до 86 и найти соответствующие \( c \). Например:

• Если \( a = 16 \): \( c = \frac{5184}{16} = 324. \) Периметр: \( 16 + 72 + 324 = 412. \)
• Если \( a = 18 \): \( c = \frac{5184}{18} = 288. \) Периметр: \( 18 + 72 + 288 = 378. \)

Следуя этому, какого-то конкретного ответа не существует, так как \( a \) может принимать множество значений.

Таким образом, периметры, которые могут получиться при целых \( a \) от 16 до 86 — каждое значение \( a \) дает уникальный \( c \) и периметр. К примеру, возможные периметры включают \( 412, 378, \ldots \) и так далее.

Всё зависит от выбранного \( a \) при условии, что все длины палочек различны и удовлетворяют условиям задачи.