4 балла) Найдите сумму цифр числа 3⋅33…31003+2⋅11…11002+55…51002+33…3100.

Для нахождения суммы цифр выражения

\[ 3 \cdot 33\ldots3_{1003} + 2 \cdot 11\ldots1_{1002} + 5\ldots5_{1002} + 3\ldots3_{100} \]

давайте разобьем каждую часть.

1. Первое слагаемое: \(3 \cdot 33\ldots3_{1003}\) состоит из числа \(3\), за которым следует 1002 цифры "3". При умножении числа \(33...3\) с 1002 тройками на 3, мы получаем \(3 \cdot 33...3 = 99\ldots9_{1003}\). В этом числе будет 1002 девятки. Сумма цифр = \(9 \cdot 1002 = 9018\).

2. Второе слагаемое: \(2 \cdot 11\ldots1_{1002}\) состоит из числа \(2\), за которым следует 1001 единица. При умножении \(11...1\) на 2, получаем \(22...2\) (где 1001 "2"). Сумма цифр = \(2 + 2 \cdot 1001 = 2 + 2002 = 2004\).

3. Третье слагаемое: \(5\ldots5_{1002}\) состоит из 1002 "5". Сумма цифр = \(5 \cdot 1002 = 5010\).

4. Четвертое слагаемое: \(3\ldots3_{100}\) — это 100 тройек. Сумма цифр = \(3 \cdot 100 = 300\).

Теперь складываем все суммы:

\[ 9018 + 2004 + 5010 + 300 = 16832. \]

Итак, сумма цифр числа \(3 \cdot 33\ldots3_{1003} + 2 \cdot 11\ldots1_{1002} + 5\ldots5_{1002} + 3\ldots3_{100}\) равна 16832.