Сколькими способами можно выставить баллы за конкурс (от 0 до 10)так, чтобы у Саши было баллов больше ,чем у Вовы,а у Вовы-больше,чем у Димы

Для решения этой задачи давайте обозначим баллы, которые получают участники конкурса, следующим образом:

• Баллы Саши - \( S \)
• Баллы Вовы - \( V \)
• Баллы Димы - \( D \)

По условию задачи необходимо, чтобы выполнялись следующие неравенства:

1. \( S > V \)
2. \( V > D \)

Так как каждый из участников может получить от 0 до 10 баллов, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации значений \( S, V, D \) в этом диапазоне.

Для удобства разберем ситуацию следующим образом:

1. Установим границы для \( D \), чтобы найти возможные значения для \( V \) и \( S \):
   • Если \( D = k \), то \( V \) должен быть не менее \( k + 1 \) (чтобы \( V > D \)) и не более 10 (поскольку максимум 10 баллов).

Таким образом, \( V \) может принимать значения от \( k + 1 \) до 10. Это дает возможность посчитать количество вариантов для \( V \) в зависимости от \( k \):

• Если \( D = 0 \), то \( V \) может быть от 1 до 10 (10 вариантов).
• Если \( D = 1 \), то \( V \) может быть от 2 до 10 (9 вариантов).
• Если \( D = 2 \), то \( V \) может быть от 3 до 10 (8 вариантов).
• Если \( D = 3 \), то \( V \) может быть от 4 до 10 (7 вариантов).
• Если \( D = 4 \), то \( V \) может быть от 5 до 10 (6 вариантов).
• Если \( D = 5 \), то \( V \) может быть от 6 до 10 (5 вариантов).
• Если \( D = 6 \), то \( V \) может быть от 7 до 10 (4 варианта).
• Если \( D = 7 \), то \( V \) может быть от 8 до 10 (3 варианта).
• Если \( D = 8 \), то \( V \) может быть от 9 до 10 (2 варианта).
• Если \( D = 9 \), то \( V \) может быть только 10 (1 вариант).
• Если \( D = 10 \), то это невозможно, так как \( V \) должен быть больше \( D \).

Теперь для каждого возможного значения \( V \) мы можем определить \( S \):

• Для каждого \( V \) необходимо, чтобы \( S \) было больше \( V \) и также не больше 10. Таким образом, если \( V = m \), то \( S \) может принимать значения от \( m + 1 \) до 10.

Теперь подсчитаем:

• 10 возможностей для \( D = 0\): \( 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55 \)
• Подсчитываем итог:

Суммируя все возможности, у нас получается:

\[ \text{Итоговое количество способов} = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55 \]

Поэтому общее число способов выставить баллы за конкурс с указанными условиями равно 220.