Из точки А вне окружности проведена касательная АВ и секущая АД ,найдите длину отрезка АС , если СД=5, а длинна отрезка касательной = 5 квадратных Корней из 2

Для решения задачи применим теорему о касательной и секущей. Эта теорема гласит:

\( AB^2 = AC \cdot AD \),

где:

• \( AB \) — длина касательной,
• \( AC \) — длина отрезка от точки A до точки C, где секущая пересекает окружность,
• \( AD \) — длина отрезка секущей.

Внутри нашей задачи у нас есть известные значения:

• \( AB = 5\sqrt{2} \),
• \( CD = 5 \).

Пусть \( AC = x \). Тогда длина отрезка \( AD \) можно выразить как: \[ AD = AC + CD = x + 5. \]

Теперь подставим все известные значения в формулу: \[ (5\sqrt{2})^2 = x \cdot (x + 5). \]

Подсчитаем левой стороны: \[ (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50. \]

Теперь у нас есть уравнение: \[ 50 = x(x + 5). \]

Распишем это уравнение: \[ 50 = x^2 + 5x. \]

Приведем его к стандартному виду: \[ x^2 + 5x - 50 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225. \]

Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-5 \pm 15}{2}. \]

Находим два корня:

1. \( x_1 = \frac{10}{2} = 5 \),
2. \( x_2 = \frac{-20}{2} = -10 \) (отрицательное значение игнорируем, так как длина не может быть отрицательной).

Таким образом, \( AC = x = 5 \).

Ответ: длина отрезка \( AC = 5 \).