Задание 6. Преобразуйте множество, используя свойство операций над множествами, учитывая, что пересечения множеств не пусты. ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ B) ∪ ((𝐴̅ ∪ B) ∩ (𝐴̅ ∪ C))
Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся свойствами операций над множествами: дистрибутивным, ассоциативным и коммутативным свойствами, а также тем, что пересечения множеств не пусты.
Исходное выражение:
\[ ((A \cap B) \cup B) \cup ((\bar{A} \cup B) \cap (\bar{A} \cup C)) \]
- Упростим первое слагаемое \((A \cap B) \cup B\):
По свойству: \(X \cup X = X\) \[ (A \cap B) \cup B = B \]
Так что первую часть можно упростить до \(B\).
Выражение теперь стало:
\[ B \cup ((\bar{A} \cup B) \cap (\bar{A} \cup C)) \]
Упрощаем вторую часть \((\bar{A} \cup B) \cap (\bar{A} \cup C)\) с помощью дистрибутивного закона: \[ (\bar{A} \cup B) \cap (\bar{A} \cup C) = \bar{A} \cup (B \cap C) \]
Теперь у нас есть такое выражение: \[ B \cup (\bar{A} \cup (B \cap C)) \]
Объединим с учётом того, что \(B \cup \bar{A} = \bar{A} \cup B\) и по коммутативному закону: \[ \bar{A} \cup (B \cup (B \cap C)) = \bar{A} \cup B \]
Итак, окончательное упрощенное выражение: \[ \bar{A} \cup B \]
Ответ: \(\bar{A} \cup B\)
