сумма квадратов сторон прямоугольника равна 25см²та его периметр 14 см найдите стороны прямоугольника
Давайте решим эту задачу вместе.
Пусть стороны прямоугольника обозначим как \(a\) и \(b\). В условии сказано, что сумма квадратов сторон равна 25 см²:
\[ a^2 + b^2 = 25 \]
Также известно, что периметр прямоугольника равен 14 см. Формула для периметра \(P\) прямоугольника выглядит так:
\[ P = 2(a + b) \]
Отсюда можем выразить сумму сторон:
\[ a + b = \frac{P}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \(a^2 + b^2 = 25\)
- \(a + b = 7\)
Давайте выразим \(b\) через \(a\) из второго уравнения:
\[ b = 7 - a \]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]
Раскроем квадрат:
\[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \]
Соберем всё в одно уравнение:
\[ 2a^2 - 14a + 49 - 25 = 0 \]
Упростим:
\[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]
Теперь можно разделить всё уравнение на 2:
\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ a_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2} \]
Это дает нам два корня:
\[ a_1 = \frac{8}{2} = 4 \] \[ a_2 = \frac{6}{2} = 3 \]
Итак, одна сторона равна 4 см, а другая — 3 см. Таким образом, стороны прямоугольника:
\[ a = 4 \text{ см}, \quad b = 3 \text{ см} \]
Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 3 см.
