x^4-2x^3-13x^2+ 14x +24 = 0 реши с помощью схемы горнеро

Чтобы решить уравнение \( x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24 = 0 \) с помощью схемы Горнера, сначала попробуем найти один из корней уравнения, подбирая целые значения \( x \).

Проверим \( x = 2 \):

\[ 2^4 - 2 \cdot 2^3 - 13 \cdot 2^2 + 14 \cdot 2 + 24 = 16 - 16 - 52 + 28 + 24 = 0. \]

Так как \( x = 2 \) является корнем, можем использовать схему Горнера для деления многочлена на \( (x - 2) \).

Сначала запишем коэффициенты многочлена:

\[ 1, -2, -13, 14, 24. \]

Теперь применим схему Горнера:

\[ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 1 & -2 & -13 & 14 & 24 \\ & & 2 & 0 & -26 & -24 \\ \hline & 1 & 0 & -13 & -12 & 0 \\ \end{array} \]

После деления получаем новый многочлен:

\[ x^3 - 13x - 12 = 0. \]

Теперь нужно решить уравнение \( x^3 - 13x - 12 = 0 \). Попробуем опять подобрать корни. Проверим, например, \( x = 3 \):

\[ 3^3 - 13 \cdot 3 - 12 = 27 - 39 - 12 = -24 \quad (\text{не корень}). \]

Проверим \( x = -3 \):

\[ (-3)^3 - 13 \cdot (-3) - 12 = -27 + 39 - 12 = 0. \]

Итак, \( x = -3 \) тоже корень. Теперь используем схему Горнера снова для деления на \( (x + 3) \):

\[ \begin{array}{r|rrrr} -3 & 1 & 0 & -13 & -12 \\ & & -3 & 9 & 12 \\ \hline & 1 & -3 & -4 & 0 \\ \end{array} \]

Получаем \( x^2 - 3x - 4 = 0 \). Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25. \]

Корни:

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}. \]

Таким образом, получаем два новых корня:

\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1. \]

Таким образом, у уравнения \( x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24 = 0 \) имеются корни:

\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 4, \quad x_4 = -1. \]