Реши тригонометрическое неравенство -(корень 3) /2 <cos(3x-П/4)<1/2
Чтобы решить тригонометрическое неравенство \(-\frac{\sqrt{3}}{2} < \cos(3x - \frac{\pi}{4}) < \frac{1}{2\), сначала рассмотрим каждую часть неравенства отдельно.
Первое неравенство: \(-\frac{\sqrt{3}}{2} < \cos(3x - \frac{\pi}{4})\)
Мы знаем, что \(\cos\) принимает значения \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) при углах: \[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Рассмотрим равенство для \(\frac{5\pi}{6}\): \[ 3x - \frac{\pi}{4} > \frac{5\pi}{6} \] Решим неравенство: \[ 3x > \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \]
Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{5\pi}{6} = \frac{10\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \quad \Rightarrow \quad \frac{10\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} \] Таким образом: \[ 3x > \frac{13\pi}{12} \quad \Rightarrow \quad x > \frac{13\pi}{36} \]
Теперь для \(\frac{7\pi}{6}\): \[ 3x - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{6} \] Решим неравенство: \[ 3x < \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \] Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{7\pi}{6} = \frac{14\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \quad \Rightarrow \quad \frac{14\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{17\pi}{12} \] Таким образом: \[ 3x < \frac{17\pi}{12} \quad \Rightarrow \quad x < \frac{17\pi}{36} \]
Соберем результаты первого неравенства: \[ \frac{13\pi}{36} < x < \frac{17\pi}{36} \]
Второе неравенство: \(\cos(3x - \frac{\pi}{4}) < \frac{1}{2}\)
Мы знаем, что \(\cos\) меньше \(\frac{1}{2}\) при: \[ 3x - \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z} \]
Решаем для \(\frac{\pi}{3}\): \[ 3x - \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{3} \] \[ 3x > \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \] Общий знаменатель: \[ \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \quad \Rightarrow \quad \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \] Таким образом: \[ 3x > \frac{7\pi}{12} \quad \Rightarrow \quad x > \frac{7\pi}{36} \]
И для \(\frac{5\pi}{3}\): \[ 3x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{3} \] \[ 3x < \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \] Общий знаменатель: \[ \frac{5\pi}{3} = \frac{20\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12} \quad \Rightarrow \quad \frac{20\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{23\pi}{12} \] Таким образом: \[ 3x < \frac{23\pi}{12} \quad \Rightarrow \quad x < \frac{23\pi}{36} \]
Соберем результаты второго неравенства: \[ \frac{7\pi}{36} < x < \frac{23\pi}{36} \]
Объединим оба интервала: Теперь, чтобы найти итоговый интервал для \(x\), пересечем полученные диапазоны: \[ \frac{13\pi}{36} < x < \frac{17\pi}{36} \] и \[ \frac{7\pi}{36} < x < \frac{23\pi}{36} \]
Пересечение приводит к: \[ \frac{13\pi}{36} < x < \frac{17\pi}{36} \]
Таким образом, решение неравенства \(-\frac{\sqrt{3}}{2} < \cos(3x - \frac{\pi}{4}) < \frac{1}{2}\) будет: \[ x \in \left(\frac{13\pi}{36}, \frac{17\pi}{36}\right) \]
