Найти производную (3х⁷+6х)(2x³+5x²)
Чтобы найти производную функции \(y = (3x^7 + 6x)(2x^3 + 5x^2)\), используем правило произведения. Правило произведения гласит, что производная произведения двух функций \(u\) и \(v\) равна:
\[ y' = u'v + uv' \]
Где \(u = 3x^7 + 6x\) и \(v = 2x^3 + 5x^2\).
Теперь найдем производные \(u'\) и \(v'\):
Находим \(u'\): \[ u' = \frac{d}{dx}(3x^7 + 6x) = 21x^6 + 6 \]
Находим \(v'\): \[ v' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 5x^2) = 6x^2 + 10x \]
Теперь подставим найденные производные в формулу для \(y'\):
\[ y' = (21x^6 + 6)(2x^3 + 5x^2) + (3x^7 + 6x)(6x^2 + 10x) \]
Теперь упростим каждую часть:
Упрощаем первую часть: \[ (21x^6 + 6)(2x^3 + 5x^2) = 21x^6 \cdot 2x^3 + 21x^6 \cdot 5x^2 + 6 \cdot 2x^3 + 6 \cdot 5x^2 = 42x^9 + 105x^8 + 12x^3 + 30x^2 \]
Упрощаем вторую часть: \[ (3x^7 + 6x)(6x^2 + 10x) = 3x^7 \cdot 6x^2 + 3x^7 \cdot 10x + 6x \cdot 6x^2 + 6x \cdot 10x = 18x^9 + 30x^8 + 36x^3 + 60x^2 \]
Теперь складываем обе части: \[ y' = (42x^9 + 105x^8 + 12x^3 + 30x^2) + (18x^9 + 30x^8 + 36x^3 + 60x^2) \]
Сложим одинаковые степени: \[ y' = (42x^9 + 18x^9) + (105x^8 + 30x^8) + (12x^3 + 36x^3) + (30x^2 + 60x^2) \] \[ y' = 60x^9 + 135x^8 + 48x^3 + 90x^2 \]
Таким образом, производная функции \(y = (3x^7 + 6x)(2x^3 + 5x^2)\) равна: \[ y' = 60x^9 + 135x^8 + 48x^3 + 90x^2 \]
