Построй график функции { y = − x 2 , если ∣ x ∣ ≤ 1 , y = ∣ x ∣ − 2 , если ∣ x ∣ > 1 { y=−x 2 ,если∣x∣≤1, y=∣x∣−2,если∣x∣>1 и определи, при каких значениях m m функция y = m y=m…
Построй график функции { y = − x 2 , если ∣ x ∣ ≤ 1 , y = ∣ x ∣ − 2 , если ∣ x ∣ > 1 { y=−x 2 ,если∣x∣≤1, y=∣x∣−2,если∣x∣>1 и определи, при каких значениях m m функция y = m y=m имеет с графиком ровно три общие точки. Введи ответ
Для построения графика функции, нам нужно разделить его на два части в зависимости от значения \( x \).
Для \(|x| \leq 1\): здесь функция определяется как \( y = -x^2 \).
- Это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке (0, 0).
- У нас есть точки: \( (-1, -1) \) и \( (1, -1) \).
Для \(|x| > 1\): здесь функция \( y = |x| - 2 \).
- Для \( x > 1 \), функция становится \( y = x - 2\) (прямая с угловым коэффициентом 1, начинающаяся от точки (1, -1)).
- Для \( x < -1 \), функция становится \( y = -x - 2\) (прямая с угловым коэффициентом -1, начинающаяся от точки (-1, -1)).
Теперь, чтобы найти значение \( m \), при котором функция \( y = m \) будет пересекаться с графиком функции тройной точкой, давайте проанализируем:
- Прямая \( y = m \) будет пересекаться с \( y = -x^2 \) в двух точках, если \( m < 0 \) и \( m \) не больше, чем максимум \( (-1) \) (парабола в точке \( (0,0) \) пересекает ось абсцисс).
- Парабола \( y = -x^2 \) пересекает прямую \( y = m \) в двух точках: в точках, где \( x^2 = -m \).
Теперь, прямая \( y = m \) также должна пересекаться с линейными частями (для \(|x| > 1\)). Важно, чтобы она пересекалась именно в одной точке с одной из них, что происходит, когда:
- Для \( x > 1 \): \( m = x - 2 \) будет иметь одно решение, если \( m + 2 > 1 \) или \( m > -1 \).
- Для \( x < -1 \): \( m = -x - 2 \) также будет иметь одно решение.
Чтобы выяснить, сколько решений у нас есть, нам нужно взять в расчет места для параболы и для линий у границ \( x = ±1 \).
Таким образом, подведем итог:
- Подходящее значение \( m \) должно быть таким, чтобы отверстия были ровно три: два на параболе и одно на одной из линий. При этом, \( m \) должно быть меньше 0 (для двух пересечений с пароболой) и больше, чем -1 (для одного пересечения с линией).
Получается, что:
\[ -1 < m < 0 \]
Вводя ответ, можно сказать: \( m \in (-1, 0) \).
