Из точки вне окружности проведена, секущая, пересекающая окружность в точках, удаленных от данной точки на 3см и 5 см. Расстояние от этой точки до центра равно 8 см. Найти радиус окружности?

Для решения задачи воспользуемся свойствами секущей и окружности.

1. Обозначим:

   • Точка, из которой проведена секущая, — \( A \).
   • Центр окружности — \( O \).
   • Радиус окружности — \( R \).
   • Расстояние от точки \( A \) до центра \( O \) равно \( OA = 8 \) см.
   • Точки пересечения секущей с окружностью — \( P \) и \( Q \). Расстояния от точки \( A \) до этих точек: \( AP = 3 \) см, \( AQ = 5 \) см.

2. По теореме о секущей и касательной (или секущей), которая пересекает окружность, справедливо следующее: \[ OA^2 = AP \cdot AQ + R^2 \]

3. Подставим известные значения:

   • \( OA = 8 \) см,
   • \( AP = 3 \) см,
   • \( AQ = 5 \) см.

4. Подставляем данные в уравнение: \[ 8^2 = 3 \cdot 5 + R^2 \] \[ 64 = 15 + R^2 \]

5. Выразим \( R^2 \): \[ R^2 = 64 - 15 = 49 \]

6. Найдем радиус \( R \): \[ R = \sqrt{49} = 7 \text{ см}. \]

Таким образом, радиус окружности равен 7 см.