Постройте график функции: 1) y = 3x(x + 2) 2) y = (3 - x)(x - 4) 3) 5y = (x ^ 2 - 4) ^ 2 - (x ^ 2 + 1) ^ 2 4) y = (x - 1) ^ 2 - 4(x - 1) + 3
Давайте рассмотрим, как построить графики указанных функций по порядку.
y = 3x(x + 2)
Это квадратная функция, которую можно упростить: \[ y = 3x^2 + 6x \] Для построения графика мы найдем корни уравнения, приравняв y к нулю: \[ 3x(x + 2) = 0 \] Корни: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -2\). Также определим вершину параболы: \[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{6} = -1 \] Подставим \(x = -1\) в уравнение: \[ y(-1) = 3(-1)(-1 + 2) = 3(-1)(1) = -3 \] Вершина находится в точке \((-1, -3)\). Мы можем начертить параболу, проходящую через эти точки.
y = (3 - x)(x - 4)
Упростим данное выражение: \[ y = -x^2 + 7x - 12 \] Теперь находим корни уравнения: \[ (3 - x)(x - 4) = 0 \] Корни: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 4\). Вершина параболы: \[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{-2} = 3.5 \] Подставив \(x = 3.5\) в уравнение, находим: \[ y(3.5) = -3.5^2 + 7(3.5) - 12 = -12.25 + 24.5 - 12 = 0.25 \] Вершина находится в точке \((3.5, 0.25)\).
5y = (x^2 - 4)^2 - (x^2 + 1)^2
Выразим y: \[ 5y = (x^2 - 4 - (x^2 + 1))(x^2 - 4 + (x^2 + 1)) = (-5)(x^2 - 3) \] Это упрощается до: \[ y = -\frac{(x^2 - 3)}{5} \] Находим корни: \[ x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{3} \text{ и } x = -\sqrt{3}. \] Вершина в данной функции будет в точке \((0, y(0)) = -\frac{(0 - 3)}{5} = \frac{3}{5}\).
y = (x - 1)^2 - 4(x - 1) + 3
Упрощаем: \[ y = (x - 1)^2 - 4(x - 1) + 3 = (x - 1)(x - 1 - 4) + 3 = (x - 1)(x - 5) + 3 \]
Находим корни: \[ (x - 1)(x - 5) + 3 = 0 \] Данная функция достигает своей минимальной точки (вершины) в: \[ x_{vertex} = \frac{1 + 5}{2} = 3. \] Подставив \(x = 3\): \[ y(3) = (3 - 1)(3 - 5) + 3 = 2 \cdot -2 + 3 = -4 + 3 = -1. \] Вершина в точке \((3, -1)\).
Теперь, используя полученные данные о корнях и вершинах для каждой функции, можно построить графики, отображая ключевые точки и форму кривых. Если у вас есть дополнительные вопросы по этим функциям или вы хотите прояснить что-то еще, не стесняйтесь задавать!
