-dx/x =du/1+2u

Чтобы решить уравнение \(-\frac{dx}{x} = \frac{du}{1 + 2u}\), мы начнем с интегрирования обеих сторон.

1. Интегрируем левую часть: \[ -\int \frac{dx}{x} = -\ln|x| + C_1 \]

2. Интегрируем правую часть: \[ \int \frac{du}{1 + 2u} = \frac{1}{2} \ln|1 + 2u| + C_2 \]

Теперь у нас есть два интеграла: \[ -\ln|x| = \frac{1}{2} \ln|1 + 2u| + C \] где \(C = C_2 - C_1\) - это произвольная константа.

3. Умножим обе стороны на \(-2\): \[ 2 \ln|x| = -\ln|1 + 2u| - 2C \]

4. Изменим знак перед константой и выразим уравнение так: \[ \ln|x|^2 + \ln|1 + 2u| = -2C \]

5. Объединим логарифмы: \[ \ln\left(|x|^2 \cdot |1 + 2u|\right) = -2C \]

6. Экспоненцируем обе стороны: \[ |x|^2 \cdot |1 + 2u| = e^{-2C} \]

Таким образом, общее решение уравнения: \[ |x|^2 \cdot |1 + 2u| = K \] где \(K = e^{-2C}\) - произвольная положительная константа.

Если у вас есть дополнительные вопросы или если что-то осталось неясным, не стесняйтесь задавать вопросы!