Резервуар для изготовления пончиковой глазури наполняется из двух кранов. Один из них с водой, а второй - с сахарным сиропом. Из крана с водой резервуар наполняется за 40 мин, а…

Для решения этой задачи начнем с расчета, сколько воды и сиропа общее количество каждой из них нужно для заполнения резервуара.

1. Определим скорости работы каждого крана:

   • Кран с водой заполняет резервуар за 40 минут, значит, скорость его работы составляет \( \frac{1}{40} \) (часть резервуара за минуту).
   • Кран с сахарным сиропом заполняет резервуар за 56 минут, значит, его скорость составляет \( \frac{1}{56} \).

2. Пусть кран с водой открыт в течение \( t \) минут перед открытием крана с сахарным сиропом. За это время из крана с водой в резервуар поступит: \[ V_{вода} = \frac{t}{40} \] За это время из крана с сиропом ничего не поступает, так как он еще не открыт.

3. Затем, после открытия крана с сиропом, оба крана будут работать вместе. Если резервуар будет наполняться \( T \) минут, то за это время поступит:

   • Из крана с водой: \( \frac{T}{40} \)
   • Из крана с сиропом: \( \frac{T}{56} \)

4. Общая формула количества воды, поступившей за весь период времени \( t + T \): \[ V_{вода\_общая} = \frac{t}{40} + \frac{T}{40} \]

5. Количество сиропа, поступившего за \( T \) минут: \[ V_{сироп\_общий} = \frac{T}{56} \]

6. По условию задачи, количество воды должно быть в 2.5 раза больше, чем количество сиропа: \[ V_{вода\_общая} = 2.5 \cdot V_{сироп\_общий} \]

7. Подставляем выражения для \( V_{вода\_общая} \) и \( V_{сироп\_общий} \): \[ \frac{t}{40} + \frac{T}{40} = 2.5 \cdot \frac{T}{56} \]

8. Упрощаем уравнение: \[ \frac{t + T}{40} = \frac{2.5T}{56} \]

9. Далее, умножим обе стороны на 40 и 56, чтобы избавиться от дробей: \[ 56(t + T) = 2.5 \cdot 40T \] \[ 56t + 56T = 100T \] \[ 56t = 100T - 56T \] \[ 56t = 44T \] Следовательно: \[ t = \frac{44}{56}T = \frac{11}{14} T \]

10. Теперь, выражая \( T \) через \( t \): \[ T = \frac{14}{11}t \]

Теперь мы можем определить, через какое время открыть кран с сиропом. Если обозначить \( T \) - время, в течение которого будет работать кран с сиропом, то, зная это, можно определить момент, когда он должен быть открыт.

1. Если \( t \) - время, в течение которого будет работать кран с водой, \(\frac{11}{14}T\) - это будет около 0.7858T.
2. Чтобы применение времени кранов было рациональным, опираемся на то, что всего кран с водой должен открываться 11 минут, пока кран с сиропом, если их заполнять.

Следовательно, к моменту, когда нужно открыть, принимаем - откройте кран с сиропом через 25 минут. Таким образом, когда кран с водой заполнит резервуар 25 минут, можно будет открывать сироп, чтобы выполнить соотношение 2.5 к 1.

Таким образом, ответ: открыть кран с сиропом через 25 минут.