На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что LAOB = 78° (см. рис. 229). Длина меньшей дуги АВ равна 117. Найдите длину большей дуги.

Для нахождения длины большей дуги окружности необходимо сначала найти длину всей окружности, а затем продолжить высчитывать длину большей дуги.

Дано:

• Угол \( \angle AOB = 78° \)
• Длина меньшей дуги \( AB = 117 \)

Длина меньшей дуги связана с центральным углом следующим образом:

\[ L_{AB} = \frac{\alpha}{360°} \cdot L_{o} \]

где \( L_{AB} \) — длина меньшей дуги, \( \alpha \) — центральный угол (в градусах), \( L_{o} \) — длина окружности.

Во-первых, найдем длину окружности \( L_{o} \):

\[ 117 = \frac{78}{360} \cdot L_{o} \]

Чтобы найти \( L_{o} \), умножим обе стороны на \( \frac{360}{78} \):

\[ L_{o} = 117 \cdot \frac{360}{78} = 117 \cdot \frac{360}{78} = 117 \cdot 4.615 \approx 540 \]

Теперь, чтобы найти длину большей дуги, необходимо от длины окружности отнять длину меньшей дуги:

\[ L_{AB, \text{большая}} = L_{o} - L_{AB} = 540 - 117 = 423 \]

Таким образом, длина большей дуги \( AB \) равна \( 423 \).