Докажите, что А с В и В с А тогда и только тогда, когда А = В.

Давайте рассмотрим утверждение, которое нам нужно доказать: два множества \( A \) и \( B \) равны (то есть \( A = B \)) тогда и только тогда, когда \( A \) содержится в \( B \) и \( B \) содержится в \( A \) (то есть \( A \subseteq B \) и \( B \subseteq A \)).

Доказательство:

1. Необходимость: Предположим, что \( A = B \).

   • Если \( A \) и \( B \) равны, это означает, что они содержат одни и те же элементы.
   • Следовательно, каждое элемент, принадлежащий \( A \), принадлежит и \( B \). То есть, \( A \subseteq B \).
   • Аналогично, каждое элемент, принадлежащий \( B \), принадлежит и \( A \). То есть, \( B \subseteq A \).
   • Таким образом, из \( A = B \) следует, что \( A \subseteq B \) и \( B \subseteq A \).

2. Достаточность: Предположим, что \( A \subseteq B \) и \( B \subseteq A \).

   • Это означает, что все элементы \( A \) являются элементами \( B \) и все элементы \( B \) являются элементами \( A \).
   • Таким образом, они содержат одни и те же элементы, что подразумевает, что \( A \) и \( B \) равны.
   • Следовательно, из \( A \subseteq B \) и \( B \subseteq A \) следует, что \( A = B \).

Таким образом, мы показали, что \( A = B \) тогда и только тогда, когда \( A \subseteq B \) и \( B \subseteq A \).

Это завершает доказательство.