Радиус OA с центром в точке O пересекает хорду BC в точке D и перпендикулярно ей. Найдите длину хорды BC , если АD=8см, а радиус окружности равен 13см
Для решения этой задачи используем свойства окружности и прямоугольного треугольника.
Дано:
- Радиус окружности \( R = 13 \) см.
- Длина отрезка \( AD = 8 \) см, где точка \( D \) — это основание перпендикуляра, опущенного из центра \( O \) на хорду \( BC \).
Так как \( OA \) — это радиус, образуемый с хордой \( BC \) в точке \( D \), и он перпендикулярен этой хорде, мы можем использовать теорему о длине перпендикуляра к хордe. В прямоугольном треугольнике \( OAD \) мы можем применить теорему Пифагора:
\[ OA^2 = AD^2 + OD^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 13^2 = 8^2 + OD^2 \]
Рассчитаем это:
\[ 169 = 64 + OD^2 \]
Теперь решим для \( OD^2 \):
\[ OD^2 = 169 - 64 \] \[ OD^2 = 105 \] \[ OD = \sqrt{105} \approx 10.25 \text{ см} \]
Теперь, чтобы найти длину хорды \( BC \), мы используем то, что \( D \) делит хорду пополам, так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности, делит хорду на две равные части. Обозначим половину хорды как \( x \). Поэтому,
\[ BD = DC = x \]
Снова применяем теорему Пифагора в треугольнике \( OBD \):
\[ OB^2 = OD^2 + BD^2 \]
Подставляем известные значения:
\[ 13^2 = 10.25^2 + x^2 \]
Вычислим \( 10.25^2 \):
\[ 169 = 105 + x^2 \]
Решим для \( x^2 \):
\[ x^2 = 169 - 105 \] \[ x^2 = 64 \] \[ x = 8 \text{ см} \]
Теперь длина всей хорды \( BC \) составляет \( BC = BD + DC = x + x = 2x \):
\[ BC = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см} \]
Таким образом, длина хорды \( BC \) равна 16 см.
