Дана окружность с центром O O . O A OA , O B OB , O C OC − − радиусы этой окружности. Точка B B находится между точками A A и C C . Найди площадь меньшего кругового сектора A O C…
Дана окружность с центром O O. O A OA, O B OB, O C OC − − радиусы этой окружности. Точка B B находится между точками A A и C C. Найди площадь меньшего кругового сектора A O C AOC, если известно, что дуга A B AB равна 6 5 ∘ 65 ∘ , а дуга B C BC − − 5 5 ∘ 55 ∘ . Радиус окружности равен 3 3.
Для нахождения площади меньшего кругового сектора \( AOC \), нам необходимо сначала определить центральный угол, соответствующий этому сектору. Нам даны углы дуг \( AB \) и \( BC \) с величинами \( 65^\circ \) и \( 55^\circ \) соответственно.
Рассчитаем полный угол сектора \( AOC \): Угол сектора \( AOC \) равен сумме углов дуг \( AB \) и \( BC \): \[ \text{Угол сектора } AOC = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 65^\circ + 55^\circ = 120^\circ. \]
Определим меньший сектор: Рисунок укажет, что сектор \( AOC \) является меньшим, если его угол меньше \( 180^\circ \). В нашем случае, угол \( 120^\circ \) меньше \( 180^\circ \), поэтому мы можем продолжать.
Формула для площади сектора: Площадь сектора рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2, \] где \( S \) - площадь сектора, \( \alpha \) - центральный угол сектора в градусах, и \( r \) - радиус окружности.
Подставим известные значения: Здесь радиус \( r = 3 \) и угол \( \alpha = 120^\circ \): \[ S = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 = 3\pi. \]
Таким образом, площадь меньшего кругового сектора \( AOC \) равна \( 3\pi \) квадратных единиц.
