Радиус круга равен 6 6. Найди отношение площади кругового сектора данного круга, соответствующего углу в 2 1 ∘ 21 ∘ , к площади кругового сектора данного круга, ограниченного дугой длиной 7 π 7π.
Для решения задачи сначала определим формулы, которые нам понадобятся.
Площадь кругового сектора может быть найдена по формуле: \[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \] где \( S \) — площадь сектора, \( \theta \) — угол в градусах, \( r \) — радиус круга.
Когда длина дуги известна, мы можем использовать другую формулу. Длина дуги сектора даётся формулой: \[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi r \] Из этой формулы можно выразить угол \( \theta \): \[ \theta = \frac{L \cdot 360^\circ}{2\pi r} \]
Теперь подставим данные из задачи:
- Радиус \( r = 6 \).
- Угол \( \theta_1 = 21^\circ \).
Сначала находим площадь сектора, соответствующего углу \( 21^\circ \): \[ S_1 = \frac{21}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{21}{360} \cdot \pi \cdot 36 = \frac{21 \pi}{10} \quad (\text{просто умножаем } \frac{21 \cdot 36}{360} = \frac{21 \cdot 1}{10} = \frac{21}{10}) \]
Теперь находим второй сектор, ограниченный дугой длиной \( 7\pi \): Сначала найдем угол \( \theta_2 \): \[ \theta_2 = \frac{7\pi \cdot 360^\circ}{2\pi \cdot 6} = \frac{7 \cdot 360}{12} = \frac{2520}{12} = 210^\circ \]
Теперь находим площадь сектора, соответствующего этому углу: \[ S_2 = \frac{210}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{210}{360} \cdot \pi \cdot 36 = \frac{210 \cdot 1}{10} \cdot \pi = 21\pi \]
Теперь мы можем найти отношение площадей двух сектора: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{21\pi}{10}}{21\pi} = \frac{21\pi/10}{21\pi} = \frac{1}{10} \]
Таким образом, отношение площади кругового сектора, соответствующего углу \( 21^\circ \), к площади кругового сектора, ограниченного дугой длиной \( 7\pi \), равно \( \frac{1}{10} \).
