В прямоугольнике с вершинами A(-4:-4) B(-4;6) C(8;6)3 D(8;-4) выбрали случайную точку X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной…
В прямоугольнике с вершинами A(-4:-4) B(-4;6) C(8;6)3 D(8;-4) выбрали случайную точку X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной неравенствами y⩽x и y⩽1. Запиши в поле ответа верное число, округлив его до тысячных.
Давайте рассмотрим выполнимую задачу.
У нас есть прямоугольник с вершинами A(-4, -4), B(-4, 6), C(8, 6) и D(8, -4). Сначала определим его размеры.
- Ширина прямоугольника: X-координаты вершин C и A: 8 - (-4) = 12.
- Высота прямоугольника: Y-координаты вершин B и A: 6 - (-4) = 10.
Теперь мы можем найти площадь прямоугольника. Площадь \(S_прямоугольника\) равна:
\[ S_{прямоугольника} = ширина \times высота = 12 \times 10 = 120. \]
Теперь рассмотрим условия для точки X(x, y), чтобы координаты этой точки принадлежали области, образованной неравенствами \(y \leq x\) и \(y \leq 1\).
Неравенство \(y \leq x\) - это прямая линия с углом 45 градусов, которая делит плоскость на две половины. Для \(y = x\), если у нас есть точка ниже этой прямой, значения \(y\) будут меньше значений \(x\).
Неравенство \(y \leq 1\) - это горизонтальная прямая, которая проходит через \(y = 1\).
Теперь мы построим график обеих линий и определим площадь области, соответствующей этим неравенствам.
Линия \(y = 1\) пересекает вертикальную линию \(x = -4\) в точке (-4, 1) и горизонтальную линию \(y = 6\) в точке (1, 1). При этом прямая \(y = x\) проходит через точки, где \(x = 1\) и \(y = 1\).
Теперь мы можем выделить треугольник с вершинами (-4, 1), (1, 1) и (1, 1).
Чтобы определить площадь треугольника, сначала найдем длину основание и высоту:
- Основание (между -4 и 1 по оси X): \(b = 1 - (-4) = 5\).
- Высота (максимальное значение y = 1): \(h = 1 - (-4) = 5\).
Площадь \(S_{треугольника}\) равна:
\[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5. \]
Теперь мы вычислим вероятность того, что точка будет расположена в этой области:
\[ P = \frac{S_{треугольника}}{S_{прямоугольника}} = \frac{12.5}{120} \approx 0.1041667. \]
Округляя до тысячных, получаем:
\[ P \approx 0.104. \]
Таким образом, вероятность того, что координаты точки X принадлежат области, образованной неравенствами \(y \leq x\) и \(y \leq 1\), равна 0.104.
