В прямоугольнике с вершинами A(-4:-4) B(-4;6) C(8;6)3 D(8;-4) выбрали случайную точку X(x;y). Найди вероятность того, что координаты этой точки принадлежат области, образованной…

Чтобы определить вероятность того, что случайная точка \(X(x; y)\) в данном прямоугольнике с вершинами \(A(-4, -4)\), \(B(-4, 6)\), \(C(8, 6)\), \(D(8, -4)\) будет удовлетворять условиям \(y \leq x\) и \(y \leq 1\), нам необходимо провести несколько шагов.

1. Определим размеры прямоугольника.
   Долгота и ширина прямоугольника:

   • Долгота: \(x\) от \(-4\) до \(8\) ⇒ длина: \(8 - (-4) = 12\).
   • Ширина: \(y\) от \(-4\) до \(6\) ⇒ ширина: \(6 - (-4) = 10\). Площадь прямоугольника \(S_{прям.} = 12 \times 10 = 120\).

2. Определим область, удовлетворяющую условиям \(y \leq x\) и \(y \leq 1\).

   • Неравенство \(y \leq x\) задает область ниже прямой \(y = x\).
   • Неравенство \(y \leq 1\) обозначает область ниже линии \(y = 1\).

Теперь можем построить координатную плоскость.

Границы:

• Прямая \(y = x\) пересекает \(y = 1\) в точке \((1, 1)\).
• Точка \(1\) по оси \(x\) пересекает прямоугольник на уровне \(y = 1\) между \(x = -4\) и \(x = 1\).

3. Ограничим область, удовлетворяющую условиям.

• Область, удовлетворяющая неравенствам, — это треугольник с вершинами:
  1. \((-4, -4)\) — первая угловая точка прямоугольника,
  2. \( (1, 1)\) — точка пересечения \(y = x\) и \(y = 1\),
  3. \( (1, -4)\) — проекция последней точки на ось \(y\).

4. Найдем площадь полученной области.
   Площадь треугольника можно найти по формуле:
   \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times основание \times высота. \]

• Основание — это расстояние по оси \(x\) между точками \((1, -4)\) и \((1, 1)\), которое равно \(1 - (-4) = 5\).
• Высота треугольника (по оси \(x\)) — это \(1 - (-4) = 5\).

Значит, площадь треугольника: \[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25}{2} = 12.5. \]

5. Вероятность нахождения точки в этой области.
   Вероятность \(P\) равна отношению площади треугольника к площади прямоугольника: \[ P = \frac{S_{треугольника}}{S_{прям.}} = \frac{12.5}{120} = \frac{125}{1200} \approx 0.104167. \]

Теперь округлим это значение до тысячных: \[ P \approx 0.104. \]

Таким образом, ответ: 0.104.